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Banque PT Mathématiques A PT 2024

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesGéométriePolynômes et fractionsSéries et familles sommables

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Banque PT PT Banque PT 2024 PT Maths Maths 2024

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Epreuve de Mathématiques A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Le sujet est composé de 2 exercices indépendants.

Problème I : Probabilités.

Ce problème est composé de 3 parties indépendantes, chacune d'elle étant l'étude d'un tirage différent dans un paquet de bonbons effectué par deux enfants Alice et Cyril.

Dans l'ensemble du problème :

On dispose d'un paquet de bonbons qui contient uniquement des bonbons à la menthe et des nougats.
On suppose que l'emballage des bonbons les rend indiscernables.
Alice n'aime que les bonbons à la menthe et Cyril que les nougats.

Par ailleurs, on pourra utiliser les notations suivantes : pour tout entier

est l'événement le -ième bonbon tiré est un bonbon à la menthe ;
est l'événement << le -ième bonbon tiré est un nougat >>.

Partie A

Dans cette partie, le paquet de bonbons contient 10 nougats et 10 bonbons à la menthe. Alice tire 1 bonbon dans le paquet et le garde dans sa main puis Cyril fait de même. On note :

la variable aléatoire égale à 1 si Alice tire un bonbon à la menthe et égale à 0 si Alice tire un nougat.
la variable aléatoire égale à 1 si Cyril tire un nougat et égale à 0 si Cyril tire un bonbon à la menthe.

(a) Quelle est la loi de ? On donnera son nom et la valeur du ou des paramètres.
(b) Donner les valeurs de l'espérance et la variance de .
(a) Déterminer .
(b) Déterminer la loi conjointe du couple .
En déduire la loi de . Une justification est attendue.
(a) Vérifier que la covariance de et vaut .
(b) Les variables aléatoires et sont-elles indépendantes?

Lorsqu'un enfant a tiré un bonbon qu'il n'aime pas, il le donne à l'autre enfant.
On note alors :

la variable aléatoire égale au nombre de bonbons à la menthe détenus par Alice après les dons éventuels;
la variable aléatoire égale au nombre de nougats détenus par Cyril après les dons éventuels.

Justifier que l'univers image de est égal à .
(a) Quelle est la loi de ?
(b) En déduire que la covariance de et est nulle.
(c) Démontrer que où est la covariance de et et la variance de .
(d) En déduire le signe de .
Justifier que .
En déduire l'espérance de et démontrer que sa variance vaut .
A l'aide des résultats de la question précédente, justifier que la loi de n'est pas une loi binomiale.

Partie B

Dans cette partie, le paquet de bonbons contient 10 nougats et 6 bonbons à la menthe. Alice tire dans le paquet des bonbons 1 par 1 .
Si c'est un nougat, elle le remet dans le paquet.
Si c'est un bonbon à la menthe, elle le mange.
Les tirages s'arrêtent lorsque Alice a mangé deux bonbons.
On note :

la variable aléatoire égale au nombre de bonbons tirés au moment où Alice mange son premier bonbon;
la variable aléatoire égale au nombre de bonbons tirés après qu'Alice a mangé le premier bonbon et au moment où Alice mange son deuxième bonbon.
la fonction génératrice de
la fonction génératrice de .
le domaine de définition de et celui de .

On admet que les variables aléatoires

sont indépendantes.

(a) Reconnaitre la loi de . Une réponse argumentée est attendue.

On précisera son nom, son ou ses paramètres, l'univers image

et les valeurs des probabilités

pour

dans

.
(b) Donner l'espérance et la variance de

.
(c) Justifier que

et déterminer

.
(d) Déterminer pour tout

, l'expression de

à l'aide des fonctions usuelles.
(e) Déterminer la valeur de

pour tout

. Préciser

.
2. Donner, sans les justifier, la loi de

, son espérance et sa variance,

pour tout

.
3. On pose

et on note

la fonction génératrice de

.
(a) Que représente

? Quelle est son espérance?
(b) Donner l'univers image

.
(c) Exprimer pour tout

en fonction de

.
(d) A l'aide de la formule de Leibniz, exprimer pour tout entier

supérieur ou égal à

en fonction de

pour des valeurs non nulles de

bien choisies.
(e) En déduire que pour tout entier

supérieur ou égal à

(f) En déduire

pour tout

.
(g) En utilisant la définition de l'espérance, retrouver la valeur de l'espérance de

Partie C

Dans cette partie, la proportion des bonbons à la menthe dans le paquet est notée

et celle des nougats est notée

avec

.
Le tirage des bonbons dans le paquet répond au protocole suivant :

Les enfants tirent à tour de rôle un bonbon dans le paquet.
Lorsqu'un enfant tire un bonbon qu'il aime, il le mange, sinon il le remet dans le paquet.
Les tirages s'arrêtent dès qu'un enfant a mangé un bonbon.
Cyril effectue le premier tirage.

On note

la variable aléatoire égale à 1 si c'est Cyril qui a mangé un bonbon, égale à 0 si c'est Alice qui a mangé un bonbon et égale à -1 dans les autres cas.

Justifier que .
Soit un entier naturel non nul. On note l'événement : Cyril a mangé un nougat au -ème tirage .
(a) Pour , exprimer en fonction d'événements et (définis en introduction) bien choisis.
(b) En déduire pour .
(c) Que peut-on dire de et pour ?
Etablir à l'aide des questions précédentes que .
Démontrer de même que .
En déduire la valeur . Interpréter ce résultat.
Est-il possible de posséder un paquet de bonbons tel que Alice et Cyril aient autant de chance l'un que l'autre de manger un bonbon?

Problème II : Algèbre.

Pour tout entier naturel

, on note

l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à

.
Soit

l'application définie sur

par :

On considère également les polynômes

pour

(a) Vérifier que .
(b) Ecrire de même et .
(c) Déterminer les valeurs de pour tout .
(a) Démontrer que est un produit scalaire sur .

On notera || || la norme associée.
(b) Vérifier que

est une base orthonormée de

pour ce produit scalaire.
(c) Soit

un polynôme de

. Exprimer en fonction de

, les coordonnées de

dans la base

.
3. Déterminer une base orthonormée de

pour le produit scalaire

L'espace affine euclidien

est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé

.
On considère désormais 6 réels

et la droite

d'équation

. Pour tout

, on note

le point de coordonnées (

le point de

dont l'abscisse est

la longueur du segment

.
On pose alors

.
L'objectif est de déterminer les valeurs de

(si elles existent) pour lesquelles

est minimale.
4. Faire, sur la copie, un schéma qui illustre les données précédentes.
5. Vérifier que

.
6. (a) Démontrer qu'il existe un unique polynôme

dont le graphe passe par les points

.
On pourra utiliser les polynômes

pour

.
(b) Démontrer que

où

.
(c) En évoquant la distance d'un vecteur à un espace vectoriel bien choisi, en déduire l'existence d'un minimum pour

et que celui-ci est atteint en un unique polynôme

.
On précisera le lien entre

Dans la suite du sujet, on pose

.
L'objectif des 2 prochaines questions est d'obtenir l'expression de

qui a été défini dans la question précédente de 2 façons différentes.
7. Première méthode.
(a) Exprimer

en fonction de

et les polynômes obtenus dans la question 3.
(b) Déterminer

en fonction de

.
8. Deuxière méthode.
(a) Justifier que la fonction

possède un unique point critique à déterminer. On l'exprimera en fonction de

.
(b) Justifier qu'en ce point, la fonction

atteint un minimum global.

Une application industrielle :

Un processus industriel nécessite que l'on contrôle au cours du temps

, exprimé en heures, l'évolution de la concentration

d'un produit dans une cuve car le processus doit être interrompu lorsque la concentration du produit devient inférieure à

.
Des études montrent que cette concentration

évolue au court du temps en suivant une loi de la forme

, les valeurs des réels

étant inconnues.
On souhaite obtenir expérimentalement des valeurs de

.
Pour cela, on effectue des mesures qui ont donné les résultats suivants :

	0	1	2	3
	1

(a) Placer dans un repère orthogonal les points de coordonnées pour et 3 .
On utilisera la feuille de papier millimétré fournie avec le sujet.
(b) Comment ces 4 points devraient-ils être positionnés? Est-ce le cas? Comment peut-on l'expliquer?
(a) Expliquer en quoi les questions 6. à 8. permettent en théorie de déterminer les valeurs de et .
(b) Déterminer les valeurs << expérimentales >> que l'on obtient alors pour et .
(c) Au bout de combien de temps, l'industriel doit-il interrompre le processus? On arrondira le résultat à l'entier le plus proche.