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Banque PT Mathématiques A PT 2025
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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéduction
Epreuve de Mathématiques A
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
CONSIGNES:
- Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
- L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est strictement interdit. Les surveillants et surveillantes se réservent le droit de les confisquer.
- Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
- Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
- Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. La présence d'une information d'identification en dehors du cartouche donnera lieu à un point de pénalité et la page concernée pourra être soustraite de la correction.
Exercice 1
Cet exercice comporte trois parties. Les parties 2 et 3 sont indépendantes et utilisent toutes les deux des résultats de la partie 1.
On définit
On définit
c'est-à-dire que
Préliminaire
- (a) Montrer que
est un endomorphisme de .
(b) Calculerpour . On pourra traiter séparément le cas .
Partie 1 : Polynômes de Legendre
Pour
On rappelle que si
2. Calculer
3. Déterminer le degré de
4. On fixe
(a) Vérifier que
2. Calculer
3. Déterminer le degré de
4. On fixe
(a) Vérifier que
(b) Rappeler la formule de Leibniz exprimant la dérivée
(c) En dérivant
(c) En dérivant
On pourra utiliser cette égalité dans les parties suivantes.
Partie 2 : Etude d'un endomorphisme induit
Dans cette question, on fixe un entier naturel non nul
5. Montrer que
5. Montrer que
On note alors
- Ecrire la matrice
représentative de dans la base canonique de . Quelle est la taille de cette matrice? - Déterminer les valeurs propres de
. Cet endomorphisme est-il diagonalisable? - En utilisant la partie précédente, déterminer les sous-espaces propres de
. - Déterminer l'ensemble des valeurs propres de
.
Partie 3 : Etude d'un produit scalaire
Dans la suite on confond polynôme et fonction polynomiale et on munit
On note
On rappelle que les suites de polynômes
On cherche une suite de polynômes
10. Vérifier que
11. (a) Montrer que pour tout
(b) En déduire que
12. Calcul de
(a) Donner les racines de
(b) Montrer que
(c) Calculer
(d) On admet que
On rappelle que les suites de polynômes
On cherche une suite de polynômes
10. Vérifier que
11. (a) Montrer que pour tout
(b) En déduire que
12. Calcul de
(a) Donner les racines de
(b) Montrer que
(c) Calculer
(d) On admet que
Déduire des résultats précédents la valeur de
13. Donner une suite
13. Donner une suite
Exercice 2
Cet exercice comporte quatre parties qui sont en grande partie indépendantes. Les notions et variables étudiées dans la partie 1 sont utilisées dans les parties suivantes.
Un groupe de
Un groupe de
- Chaque équipe a une probabilité
de gagner le match. - Le match n'est pas truqué : son issue est indépendante des paris des joueurs.
- Chaque joueur parie 1 euro.
- Chaque joueur effectue son pari indépendamment des autres joueurs.
- Un joueur est déclaré gagnant s'il a parié sur la bonne issue du match.
- L'ensemble des gagnants se partage équitablement la mise totale de
euros. - S'il n'y a aucun gagnant, la mise totale de
euros est reversée au club de rugby local.
Dans l'ensemble de l'exercice, on appelle gain d'un joueur la somme qu'il reçoit à l'issue du match. Ce gain ne prend pas en compte la somme qui a été misée. Ainsi s'il y a
Partie 1 : calcul de l'espérance du gain pour un joueur
On numérote les joueurs de 1 à
-
la variable qui vaut 1 si le joueur a gagné et 0 sinon, -
le gain, en euros, du joueur à l'issue du match.
Enfin, on note :
-
le nombre de gagnants, -
la somme des gains, en euros, des joueurs.
On admet que
- Donner la loi de
pour ainsi que celle de . On explicitera les probabilités associées à ces lois. - Expliquer pourquoi
puis expliciter la loi de et calculer . - En déduire la valeur de
pour (le calcul de la loi de n'est pas nécessaire pour cette question). - Un nouvel ami arrive dans le groupe, les joueurs ont-ils intérêt à ce qu'il parie avec eux?
Partie 2 : étude de la variable
On fixe
5. Déterminer
6. (a) Quelle est la loi conditionnelle de la variable
(b) En déduire que pour tout
5. Déterminer
6. (a) Quelle est la loi conditionnelle de la variable
(b) En déduire que pour tout
On pourra utiliser les événements
7. Retrouver la valeur de
8. On considère un autre joueur
7. Retrouver la valeur de
8. On considère un autre joueur
Partie 3 : le match retour (version 1)
Après ce premier pari, le groupe d'amis se retrouve et parie sur un nouveau match entre les deux équipes. On suppose que l'issue du deuxième match est indépendante de celle du premier. Chaque joueur parie alors son gain du premier match sur le second, c'est-à-dire que le joueur
Les gagnants se partagent alors équitablement la mise totale, c'est-à-dire
Les gagnants se partagent alors équitablement la mise totale, c'est-à-dire
-
le gain du joueur lors de ce deuxième pari, -
le nombre de gagnants du deuxième pari, -
la somme des gains du deuxième pari.
On admet que
9. (a) Donner la valeur des probabilités
(b) En déduire que
9. (a) Donner la valeur des probabilités
(b) En déduire que
(c) Calculer l'espérance et la variance de
(d) Calculer la covariance
10. En utilisant la variable
11. Le joueur
(d) Calculer la covariance
10. En utilisant la variable
11. Le joueur
Partie 4 : le match retour (version 2)
Dans cette version, seuls les joueurs ayant gagné au premier match se retrouvent pour le deuxième. Ils misent alors 1 euro. On suppose toujours que l'issue du deuxième match est indépendante de celle du premier.
Les gagnants se partagent alors équitablement la mise totale, c'est-à-dire
Les gagnants se partagent alors équitablement la mise totale, c'est-à-dire
-
le gain du joueur lors de ce deuxième pari, en convenant que pour les joueurs ayant perdu leur premier pari et ne participant donc pas au second. -
la somme des gains du deuxième pari.
On admet que
12. (a) Donner le support de la variable aléatoire
(b) Soit
12. (a) Donner le support de la variable aléatoire
(b) Soit
On pourra distinguer selon que
(c) Donner la loi et l'espérance de
13. En déduire la valeur de
14. Le joueur
(c) Donner la loi et l'espérance de
13. En déduire la valeur de
14. Le joueur