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Banque PT Mathématiques B PT 2013

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Banque
Banque PT
Année
2013
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2013PT MathsMaths 2013
2025_08_29_63f684fd2b35fee96464g

Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Partie I

  1. Dans le plan euclidien rapporté au repère orthonormé direct , on considère les points .
    (a) Soit un point du plan. Donner l'expression de la distance du point à la droite , puis de la distance du point à la droite , et, enfin, de la distance du point à la droite .
Dans ce qui suit, on désigne par l'ensemble des points du plan tels que la somme des carrés des distances du point aux trois côtés du triangle OIJ soit égale à .
(b) Former une équation cartésienne de .
(c) Donner une équation réduite de , et préciser sa nature et son excentricité.
(d) Montrer que est tangente aux droites et .
2. Dans le plan euclidien rapporté au repère orthonormé direct ( ), on considère les ellipses et d'équations respectives
où et désignent deux réels strictement positifs.
On considère la représentation paramétrique de :
et les points et de paramètres respectifs et .
(a) Déterminer une relation entre et exprimant que la tangente à en est parallèle à la droite ( ).
(b) La condition précédente étant vérifiée, déterminer l'aire du triangle .
(c) On considère la droite d'équation .
Montrer que est tangente à si, et seulement si,
(d) On désigne par et deux réels, soient et deux points distincts de l'ellipse .
Déterminer la relation que doivent vérifier et pour que la droite (UV) soit tangente à l'ellipse .
(e) Soient et trois points distincts de tels que et soient tangentes à .
Montrer que ( ) est tangente à .
3. Les points et décrivent respectivement l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées tout en vérifiant l'égalité , on considère le point du segment tel que et .
i. Rappeler la définition d'une affinité orthogonale.
ii. Dans le cas où et , représenter sur une figure les points et (l'unité de longueur est 1 centimètre).
iii. Quel est l'ensemble ( ) du plan décrit par le point ?

Partie II

Dans l'espace euclidien rapporté au repère orthonormé direct ( ), on considère les droites et d'équations respectives
On désigne par la surface d'équation
  1. Déterminer la nature des courbes obtenues en coupant successivement par les plans d'équations et .
  2. Déterminer la nature de .
  3. Soit un point de . Combien y-a-t-il de droites passant par entièrement incluses dans ? On donnera un vecteur directeur de chacune de ces droites.
  4. Quel est l'ensemble des points de par lesquels passent deux droites orthogonales et incluses dans ?
  5. Déterminer une équation cartésienne de l'ensemble des points de l'espace équidistants des droites et .

Partie III

étant un entier naturel supérieur ou égal à 2 , on désigne par l'espace vectoriel des matrices carrées de taille , à coefficients réels, et par la matrice identité de .
On note tr l'application qui, à toute matrice de associe sa trace, c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux.
  1. Montrer que tr est une application linéaire.
  2. Déterminer . En déduire la dimension de .
  3. Montrer que l'on a .
  4. Établir que: .
  5. Déterminer, s'il en existe, des matrices et de telles que .
  6. désigne une matrice non nulle de .
Soit l'application qui, à toute matrice de , associe
(a) Montrer que est un endomorphisme de .
(b) Dans le cas où , déterminer les valeurs propres de . est-il diagonalisable?
(c) On revient au cas général, simplifier où désigne l'endomorphisme identité de .
(d) Quelles sont les valeurs propres de ?
(e) est-il diagonalisable?
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