Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

À rendre en fin d'épreuve avec la copie une feuille de papier millimétré

Les trois parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Partie I

Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé direct (

), on considère le point

de coordonnées

, où

.
À chaque point

du plan, on associe la courbe

ayant pour représentation paramétrique :

Étude de dans le cas où .
(a) Montrer que possède un axe de symétrie que l'on précisera. On étudiera donc et sur .
(b) Étudier les variations de et de ; on consignera les résultats dans un tableau de variations en précisant les tangentes verticales, horizontales et la tangente au point de paramètre 0 .
(c) Montrer que possède un point double que l'on précisera. Déterminer l'angle formé par les deux tangentes à au point double.
(d) Etudier la branche infinie de la restriction de à .
(e) Tracer .
Calculer l'aire de la boucle formée par .
On revient au cas général.
(a) Montrer que la courbe possède un point stationnaire si et seulement si appartient à une courbe dont on donnera une équation.
(b) Montrer que est une conique dont on précisera les éléments caractéristiques. Tracer .

Partie II

Soit

un plan affine de

, et

trois points non alignés de ce plan. On suppose que le triangle

est direct, et n'a que des angles aigus. On note :

On désigne par

le projeté orthogonal de

sur la droite (

), et on note

désigne l'angle géométrique

l'angle géométrique

, et

l'angle géométrique

$é é é$

Donner la relation entre et .
Rappeler la formule donnant l'aire du triangle en fonction de et .
Exprimer en fonction de et .
Montrer que .
Comparer et . Donner une interprétation en termes d'aires du résultat obtenu.
Exprimer en fonction de et .
Retrouver le résultat de la question 6. à l'aide du théorème de Pythagore.

Partie III

Soit

un espace vectoriel réel de dimension finie, et

un endomorphisme de

désigne l'application identité de

(a) Montrer que .
(on pourra considérer la restriction de à ).
(b) Montrer que .
(c) En déduire que si et seulement si .
(d) Montrer que si et seulement si .
On suppose désormais que .
(a) Montrer que .
(b) Montrer que .
(c) Montrer que .
(d) On suppose qu'il existe un vecteur non nul dans . Montrer que appartient à et que la famille ( ) est libre.
On suppose que , et .
(a) Démontrer que .
(b) est-elle diagonalisable?
(c) Donner un exemple de tel endomorphisme (on pourra donner sa matrice dans la base canonique).

La partie II mêle de la géométrie élémentaire du plan et de la géométrie vectorielle. Les dernières questions permettent d'obtenir le théorème d'Al-Kashi, ou « loi des cosinus >>, qui relie, dans un triangle la longueur d'un côté à celles des deux autres et au cosinus de l'angle formé par ces deux côtés, et généralise le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles.

Banque PT Mathématiques B PT 2014

Epreuve de Mathématiques B