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Banque PT Mathématiques B PT 2017

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Algèbre linéaireGéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsRéduction
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Banque
Banque PT
Année
2017
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2017PT MathsMaths 2017
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Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Dans ce sujet, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.
Les parties I et V sont indépendantes entres elles et indépendantes des parties II, III et IV.
Àééé

Définitions et notations.

Dans ce problème, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 fixé et , l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à .
On rappelle que pour tout entier tel que désigne le coefficient binomial parmi .
Pour tout entier tel que , on note le polynôme
Pour ou est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé d'origine .
Si , sont ( ) points de , on appelle courbe de Bézier associée aux points de contrôle , la courbe paramétrée définie sur [ ] par :
Enfin, on note l'ensemble des entiers compris entre 0 et .

Questions de cours.

  1. Calculer .
  2. Soient et une variable aléatoire réelle à valeurs dans telle que pour tout dans .
    (a) Donner le nom et le(s) paramètre(s) de la loi de probabilité suivie par .
    (b) Préciser l'espérance et la variance de .
    (c) Donner un exemple d'une telle variable aléatoire .
  3. Rappeler quelle est la dimension de .
  4. Donner la définition de deux espaces vectoriels orthogonaux pour un produit scalaire noté .
  5. Donner la définition d'une surface de révolution ayant pour axe une droite .

Préliminaires.

  1. Développer les polynômes pour , et les polynômes pour .
  2. Démontrer que est une base de .
  3. Démontrer que est une base de .

Partie I : Un produit scalaire.

On considère la fonction définie pour tous polynômes et de par :
  1. (a) Démontrer que est un produit scalaire sur .
    (b) Orthonormaliser, pour le produit scalaire , la base ( ) de . On exprimera cette nouvelle base orthonormée à l'aide des polynômes .
  2. On considère l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est :
(a) Justifier sans calcul que la matrice est diagonalisable.
(b) Diagonaliser . On prendra, si possible, une base orthonormée de constituée de vecteurs propres de et on précisera la matrice diagonale , la matrice de passage , son inverse ainsi que la relation liant ces matrices.
(c) En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de .
(d) Démontrer que les sous-espaces propres de sont orthogonaux pour .
3. On suppose dans cette question que est à nouveau quelconque. Démontrer qu'il existe un produit scalaire sur pour lequel la base est orthonormée. On pourra exprimer ce produit scalaire à l'aide des coordonnées des polynômes dans la base .

Partie II : Une première courbe de Bézier dans le plan.

Dans cette partie et les deux suivantes, on se place dans muni d'un repère orthonormé . On considère la courbe de Bézier associée aux points de contrôle et de coordonnées respectives et . On considère également la courbe dont une représentation paramétrique est :
  1. (a) Donner une représentation paramétrique de .
    (b) Quelle remarque peut-on faire concernant les courbes et ?
  2. Etude de .
    (a) Construire les tableaux de variations des fonctions et .
    (b) Déterminer les points réguliers de dont la tangente à est horizontale ou verticale.
    (c) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à au point de paramètre .
    (d) Déterminer le point singulier de . Préciser sa nature ainsi que la tangente à en ce point.
    (e) Donner la nature des branches infinies de . Illustrer la réponse par un schéma sur la copie.
  3. Tracer dans le repère ( ), la courbe , les points et ainsi que les tangentes à obtenues aux questions précédentes.
    On utilisera la feuille de papier millimétrée fournie. Le tracé de 'est pas demandé. Il est conseillé de prendre une unité de 6 cm .

Partie III : Un détour par le cas général

Dans cette partie, on se place encore dans le plan mais est désormais quelconque.
On considère ( ) points de , et on note la courbe de Bézier associée aux points de contrôle .
  1. Que peut-on dire des points de de paramètre et ?
  2. On suppose dans cette question que les points et sont distincts. Démontrer que la tangente à en et la droite ( ) sont confondues.
    On admettra que si les points et sont distincts, alors la tangente à en et la droite sont confondues.
  3. Soient et deux polynômes de . On considère la courbe dont une représentation paramétrique est .
    Est-il possible de trouver points tels que soit la courbe de Bézier associée aux points de contrôle ?

Partie IV : Une deuxième courbe de Bézier.

Dans cette partie, on se place toujours dans le plan , les points et sont ceux définis dans la partie II. On souhaite refermer la courbe de la partie II par une courbe de Bézier associée à trois points de contrôle et , et telle que les tangentes à et au point soient confondues ainsi que les deux tangentes à et au point .
  1. (a) En utilisant la partie III, déterminer les coordonnées du point .
    (b) Vérifier qu'un paramétrage de est .
  2. Faire l'étude de la courbe .
  3. Compléter le graphe de la partie II en y rajoutant , le point ainsi que toute autre information vous paraissant pertinente.

Partie V : Une surface de révolution.

On se place désormais dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct ( ) et on considère la courbe de Bézier associée aux points de contrôle et de coordonnées respectives et .
  1. Vérifier qu'un paramétrage de est .
  2. Donner un vecteur directeur ainsi qu'un système d'équations cartésiennes de la tangente à au point de paramètre .
  3. Déterminer une équation cartésienne de la surface de révolution obtenue en faisant tourner autour de l'axe .
Pierre Bézier (1910-1999) est un ingénieur (Arts et Métiers et Supélec) et un docteur en mathématiques français. Il est le père fondateur de la CAO. Il fit carrière chez Renault où il mit au point les premières machines transfert.
Les courbes qui portent son nom, décrites en 1962, sont utilisées pour concevoir des pièces pour automobiles à l'aide d'ordinateurs. Elles sont également utilisées dans de nombreux logiciels de dessin et pour certaines polices de caractères.
Les polynômes sont appelés polynômes de Bernstein.
Sergei Bernstein (1880-1968) est un mathématicien ukrainien dont les travaux ont porté sur les équations différentielles, l'analyse fonctionnelle et les probabilités.
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