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Banque PT Mathématiques B PT 2018

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Algèbre linéaireGéométrieRéduction
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Banque
Banque PT
Année
2018
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2018PT MathsMaths 2018
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Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.
Les 3 parties du sujet sont indépendantes.

À rendre en fin d'épreuve avec la copie une feuille de papier millimétré

Première Partie.

Dans cette partie, l'espace vectoriel est muni de sa structure euclidienne usuelle. Sa base canonique sera notée .
Pour tout nombre complexe , on note ou sa partie réelle, ou sa partie imaginaire, son module et son conjugué. On désigne par le nombre complexe de module 1 et dont un argument est .
Soient et deux nombres complexes. On considère la fonction définie sur par :
ainsi que la fonction qui à tout vecteur de d'affixe complexe associe le vecteur de d'affixe complexe .
  1. Soient et deux vecteurs de d'affixes complexes respectives et . Dans chacun des cas suivants, dire si la famille est une base de . Justifier la réponse.
    (a) .
    (b) .
    (c) .
    (d) .
  2. Démontrer que est un endomorphisme de .
  3. On note .
    (a) Démontrer que est un -espace vectoriel.
    (b) Démontrer que où est l'ensemble des endomorphismes de . On pourra s'intéresser à la famille ( ).
  4. (a) Reconnaître (on ne demande pas de justification) lorsque
    (i) et .
    (ii) et où .
    (iii) .
    (b) En déduire que pour et est une isométrie vectorielle de . Est-elle positive (ou directe) ? Donner sa nature et ses éléments caractéristiques.
  5. (a) Soient un -espace vectoriel, et deux espaces vectoriels supplémentaires dans la symétrie par rapport à parallèlement à et la projection sur parallèlement à . Rappeler quelle est la relation entre et l'application identité notée .
    (b) En déduire un couple de complexes pour lequel est la projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur d'affixe complexe où .
  6. Ecrire la matrice de dans la base canonique de .
  7. On suppose dans cette question uniquement que . La matrice est-elle diagonalisable dans ? Que dire de plus sur ses sous-espaces propres?
  8. (a) Déterminer le polynôme caractéristique de .
    (b) On suppose que . La matrice est-elle diagonalisable dans ? Est-elle diagonalisable dans ? Discuter en fonction de et .
    (c) On suppose que . Démontrer que est diagonalisable dans si et seulement si et .
    (d) A quelle(s) condition(s), est-elle diagonalisable?

Deuxième partie.

Dans cette partie, l'espace est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct ( ).
On considère la surface d'équation cartésienne .
  1. Allure de .
    (a) Déterminer la nature de l'intersection de avec le plan d'équation .
    (b) Déterminer la nature de l'intersection de avec un plan d'équation où . Que peut-on en déduire pour ?
    (c) Utiliser les informations précédentes pour tracer sur la copie l'allure de . On n'oubliera pas de placer les axes du repère.
  2. Quelques symétries de .
    (a) Justifier que le plan d'équation est un plan de symétrie de . On admettra qu'il en est de même des plans d'équation et .
    (b) Donner un autre plan de symétrie de (distinct des trois plans précédents). Justifier la réponse.
    (c) Justifier que la droite d'équations cartésiennes est un axe de symétrie de .
  3. Soit la surface de révolution obtenue en faisant tourner la droite d'équations autour de l'axe (Oz).
    (a) En déterminant une équation cartésienne de , démontrer que .
    (b) En déduire que est une surface réglée. En donner une famille de génératrices.
  4. L'objectif de cette question est de déterminer toutes les droites qui sont incluses dans . On dit qu'une droite est horizontale si elle est incluse dans un plan parallèle au plan d'équation .
    On note l'ensemble des matrices orthogonales de .
    (a) Vérifier que ne contient aucune droite horizontale.
    (b) Soit une droite non horizontale. Justifier qu'il existe 4 réels et tels que soit une représentation paramétrique de .
    (c) Démontrer que : .
    (d) Donner la forme des matrices appartenant à . Pour chacune d'elles, préciser quel est l'endomorphisme canoniquement associé.
    (e) En déduire toutes les droites incluses dans .

Troisième partie.

Dans cette partie, l'espace est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct . On considère alors la courbe de représentation paramétrique :
Pour , on note le point de de paramètre .
  1. (a) Donner la forme trigonométrique (ou exponentielle) de l'affixe complexe de .
    (b) Calculer la dérivée sur de la fonction .
    (c) En déduire la valeur de pour et préciser quels sont les points réguliers de .
  2. On considère la fonction définie sur , par .
    (a) Dresser le tableau de variations de .
    (b) Démontrer que s'annule exactement 3 fois sur en et vérifiant .
    (c) En déduire les points de admettant une tangente horizontale.
On admet qu'il existe uniquement 2 points et de admettant une tangente verticale.
3. Tracé de .

(a) En utilisant les données ci-dessus, proposer une construction du point sachant que l'on dispose uniquement d'une règle graduée, d'un compas et d'une équerre.
(b) Sur la feuille de papier millimétré fournie avec le sujet, placer avec précision les points pour avec leur tangente ainsi que les points pour et .
Il est conseillé de prendre une unité de 2 cm .
(c) Finir le tracé de et placer le point .
4. On note la partie du plan délimitée par la courbe et le segment . L'objectif de cette question est d'en calculer l'aire .
Pour tout , on note et le disque de centre et de rayon .
Soit un entier naturel non nul. Pour tout , on note .
(a) Justifier que l'aire de la partie de comprise entre les deux demi-droites d'origine et dirigées par les vecteurs et vaut: .
(b) En déduire que l'aire de la partie de comprise entre les deux mêmes demi-droites vérifie : .
On pourra remarquer que pour deux valeurs de et bien choisies.
(c) Démontrer que pour tout entier naturel .
(d) En déduire que puis la valeur de .
5. L'objectif de cette question est d'utiliser la courbe pour construire un segment ayant pour longueur le périmètre du cercle de centre et passant par le point .
(a) La tangente à en coupe l'axe des abscisses en un point . Calculer la longueur du segment .
(b) Indiquer comment construire un point tel que le segment réponde au problème.
6. L'objectif de cette question est d'utiliser la courbe pour construire un angle dont la mesure est où est fixé, en utilisant uniquement une règle (non graduée) et un compas.
On admet que ces deux instruments permettent de tracer des droites et des cercles, de reporter des longueurs, de tracer une droite passant par un point fixé et parallèle ou perpendiculaire à une droite donnée.
(a) Soit et deux points du plan. A l'aide du théorème de Thalès, indiquer une construction à la règle et au compas, d'un point appartenant au segment vérifiant .
(b) Utiliser cette construction (les parallèles et perpendiculaires pouvant ici être tracées avec une équerre) pour placer sur le dessin de la question 3, le point et l'angle . On pourra commencer par construire le point de la demi-droite d'origine et passant par tel que .
La courbe de la partie III, est une spirale d'Archimède. Cette courbe est utilisée pour modéliser un rouleau de tissu ou comme profil de la came d'un organe mécanique (un engrenage ou un moteur par exemple).
Le résultat sur l'aire de a été démontré par Archimède à l'aide de la méthode d'exhaustion (il ne possédait pas la notion de limite). Cette méthode lui a également permis de calculer le volume intérieur (d'une portion) de la surface de la partie II.
La courbe a aussi permis à Archimède de résoudre deux des problèmes de l'antiquité : la quadrature du cercle et la trisection de l'angle, mais en utilisant en plus de la règle et du compas, un processus cinématique. Ce n'est qu'au xix siècle, que . Wantzel et . Von Lindemann ont démontré que ces deux problèmes étaient impossibles avec uniquement la règle et le compas.
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