Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

La première partie est indépendante du reste du sujet.

Dans cette partie, l'espace est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct ( ).
On considère la famille de droites d'équation cartésienne

(b) En déduire la distance du point à la droite .
2. (a) Déterminer l'ensemble des points du plan équidistants des droites et .
(b) En déduire qu'il existe un unique point, dont on précisera les coordonnées, équidistant de toutes les droites .
3. (a) Soit un réel fixé. Donner un point, un vecteur directeur puis une représentation paramétrique de la droite .
(b) Démontrer qu'une représentation paramétrique de l'enveloppe de la famille de droites est :

On note le point de de paramètre et la base de Frénet et la courbure de au point . Enfin, désigne l'abscisse curviligne de qui s'annule en 0 .
(a) Reconnaître la courbe . On sera le plus précis possible.
(b) Démontrer que . Sont-elles égales?
(c) Les deux courbes sont-elles parcourues dans le même sens?
5. Des questions de cours... pour préparer la suite
(a) Donner les deux définitions (ou caractérisations) de la développée d'une courbe régulière.
(b) Donner la définition (pas la méthode de calcul) de l'enveloppe d'une famille de droites .
(c) Donner les deux formules de Frénet.
6. On considère un réel et pour tout , on note le point défini par et l'ensemble des points pour .
(a) Calculer les vecteurs et , ainsi que pour . Quelle est l'origine du repère de Frénet?
(b) Déterminer une représentation paramétrique de .
(c) Déterminer les points non réguliers de . Où sont-ils situés?
(d) Déterminer la développée de éventuellement privée de ses points non réguliers.
7. Dans la suite de cette partie, nous allons vérifier que toute courbe dont la developpée est incluse dans est une courbe .
Soit un paramétrage de . On suppose que ce paramétrage est de classe sur l'intervalle [ ] et que la courbe est birégulière.
On note et la base de Frénet, une abscisse curviligne et la courbure de au point . Enfin, on considère que est le centre de courbure de au point .
(a) Sur la copie, faire une figure illustrant la situation : placer les points , , les vecteurs ainsi qu'une allure possible pour les courbes et au voisinage des points et .
(b) Justifier qu'il existe une fonction , dont on admettra qu'elle est de classe sur telle que : .
(c) En déduire que : puis que : .
(d) Justifier que et en déduire .
(e) Conclure

Soit un entier naturel plus grand ou égal à 2 . On note l'ensemble des matrices carrées à lignes et colonnes et à coefficients dans .
Le détail de tous les calculs effectués devra figurer sur la copie.

(b) Soient et deux matrices de . On note .
i. Rappeler l'expression de en fonction des coefficients des matrices et .
ii. On choisit .

Démontrer que où est la matrice identité de .
iii. En déduire, lorsque est inversible, l'inverse de en fonction de .
4. Application. Soit . On considère la matrice .
(a) Déterminer et représenter sur la copie, le domaine (le plus grand possible) pour que la matrice soit inversible pour tout .
On admettra que est un ouvert.
(b) Calculer pour tout de .

Dans cette partie, l'espace est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct ( ).

Dans la suite de cette partie, un ouvert de et et quatre fonctions de classe sur . On considère la famille de plans d'équation cartésienne :

L'objectif est de déterminer une surface dont l'ensemble des plans tangents est la famille .
Pour cela, on considère un paramétrage régulier de la surface tel que pour tout , le plan tangent à au point est le plan .
2. Cas général.
(a) Démontrer que la surface convient si et seulement si :

On note ( ) ce système.
(b) Démontrer soigneusement que le système ( ) est équivalent au système ( ) :

On note alors le système .
3. Une première application. Dans cette question, et et sont les fonctions :

(a) Vérifier que le système est inversible pour tout .
(b) Résoudre .
(c) Vérifier que le paramétrage ainsi trouvé est régulier.
4. Une deuxième application. Dans cette question, et sont les fonctions :

A l'aide de la partie II., donner un paramétrage de la surface qui convient.

Les courbes de la partie 1 sont les développantes de . Les développantes de cercle sont utilisées pour la réalisation du profil de certains engrenages.