Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Le sujet est composé, hors questions de cours, de 3 parties indépendantes.

Quelques questions de cours.

Soit un entier naturel non nul. Donner la dimension de , l'espace vectoriel des matricées carrées à lignes et colonnes.
Soit . A quelle condition la série géométrique converge-t-elle? Préciser alors la valeur de .
Soit une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre .
(a) Donner l'univers image , et pour tout , la valeur des probabilités .
(b) Donner l'espérance et la variance de .
Donner la forme générale des matrices orthogonales de . A quelles isométries sont-elles associées? Les éléments caractéristiques ne sont pas demandés.

Première Partie.

Soit

une matrice de

. On note

sa transposée,

sa trace et

son déterminant.
Un sous-espace vectoriel

est dit stable par produit si pour toutes matrices

, le produit

appartient à

.
Soient

trois réels. On note

la matrice

l'endomorphisme de

canoniquement associé à

désigne l'ensemble des matrices

l'ensemble des endomorphismes

lorsque

parcourt

.
Enfin on note

(a) Démontrer que est un espace vectoriel dont on donnera une base et la dimension.
(b) Donner une base d'un supplémentaire de dans .
On considère la fonction définie sur par :

(a) Démontrer que

est un produit scalaire sur

.
(b) Vérifier que les matrices

sont deux vecteurs orthogonaux pour le produit scalaire

.
(c) Déterminer le projeté orthogonal de la matrice

sur le sous-espace vectoriel

engendré par les matrices

. En déduire la distance

.
(d) En effectuant un minimum de calculs supplémentaires, donner une base orthonormée de

.
(e) Déterminer le supplémentaire orthogonal de

dans

.
3. Dans cette question, on pose

et on suppose que

.
(a) Déterminer les valeurs propres réelles ou complexes de la matrice

. On les exprimera en fonction de

et on discutera suivant le signe de

.
(b) On suppose que

. La matrice

est-elle diagonalisable dans

? Dans

?
(c) On suppose que

. La matrice

est-elle diagonalisable dans

? Dans

?
4. (a) Quelles sont les isométries positives (ou directes) appartenant à

?
(b) Quelles sont les isométries négatives (ou indirectes) appartenant à

? On donnera leurs éléments caractéristiques.
5. Soit

un projecteur appartenant à

distinct de l'identité et de l'application nulle. Il existe donc deux droites vectorielles distinctes

telles que

soit le projecteur sur

parallèlement à

.
(a) Ecrire la matrice de

dans une base adaptée à la décomposition

. En déduire les valeurs propres, la trace et le déterminant de

.
(b) En déduire quelles sont les matrices

pour lesquelles

est un projecteur (distinct de l'identité et de l'application nulle).
(c) Préciser quels sont les projecteurs orthogonaux de

et en donner les éléments caractéristiques. On pourra utiliser la question 4.
6. Le produit de deux matrices de

est-il toujours une matrice de

?
7. L'objectif de cette question est de déterminer les droites vectorielles

qui sont stables par produit.
Soit

une droite vectorielle engendrée par

.
(a) Démontrer que

est stable par produit si et seulement si

.
(b) On suppose que

.
i. Justifier qu'il existe un réel

tel que

.
ii. Démontrer que si

, alors

est proportionnelle à

.
iii. On suppose que

. On pose

. Démontrer que

est la matrice canoniquement associée à un projecteur.
(c) Conclure
8. L'objectif de cette question est de déterminer les plans vectoriels de

stables par produit.
(a) Vérifier que le plan vectoriel engendré par

est stable par produit.
(b) Le plan vectoriel engendré par

est-il stable par produit?
(c) Vérifier que l'ensemble des matrices symétriques de

est un plan vectoriel stable par produit.
(d) Soit

. Démontrer que le sous-espace vectoriel engendré par

est stable par produit.
(e) Démontrer que les seuls plans vectoriels de

stables par produit sont ceux de la question précédente.

Deuxième Partie.

L'espace euclidien

est muni de son produit scalaire et de son repère orthonormé direct

usuels.
Soient

deux réels tels que

.
On considère alors la conique

d'équation :

Dans cette question uniquement et .
(a) Etudier la conique .

On donnera en particulier :

une équation réduite en précisant le repère dans lequel elle est obtenue,
sa nature,
les coordonnées dans le repère ( ) de son centre,
les coordonnées dans le repère de votre choix (à préciser) de ses sommets.
(b) Tracer la conique dans le repère ( ).

On utilisera la feuille de papier millimétré fournie et on prendra une unité de 4 cm .
2. Déterminer en fonction de

le type de conique qu'est

On considère désormais la conique

d'équation :

où

sont deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètres respectifs

.
On définit la variable aléatoire

par

et :

si est du type ellipse,
si est du type parabole,
si est du type hyperbole.

Détermination de la loi de .
(a) Calculer .
(b) Justifier que .
(c) Justifier que .
(d) En déduire que .
(e) Justifier que pour tout entier .
(f) En déduire que .
(g) En déduire puis .
(h) Calculer l'espérance de la variable aléatoire .

Troisième Partie.

L'espace euclidien

est muni de son produit scalaire et de son repère orthonormé direct

usuels.
On considère alors la courbe

d'équations :

On note

la surface de révolution obtenue en faisant tourner la courbe

autour de l'axe des ordonnées

(a) Démontrer qu'une équation cartésienne de est : .
(b) Démontrer que tous les points de sont réguliers.
(c) Déterminer une équation du plan tangent à au point de coordonnées .
On note le vecteur . On considère l'ensemble des points de tels que la normale au plan tangent à en est orthogonale à .
(a) Démontrer que des équations cartésiennes de sont : .
(b) Déterminer une équation cartésienne de la surface réglée engendrée par les droites passant par un point de et dirigées par .
(c) Soit une génératrice de . Démontrer que le plan tangent à est le même en tout point régulier de .
On note le point de de coordonnées . On considère l'ensemble des points de tels que la normale au plan tangent à en soit orthogonale à la droite ( ).
(a) Démontrer que des équations cartésiennes de sont : .
(b) On note la surface réglée engendrée par les droites ( ) où parcourt . Soit un point de de coordonnées .
Démontrer que si et seulement si ou .
(c) En déduire qu'une équation cartésienne de est : .
(d) Déterminer les points non réguliers de .
(e) Soit une génératrice de . Démontrer que le plan tangent à est le même en tout point régulier de .

Banque PT Mathématiques B PT 2022

Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h