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Banque PT Mathématiques B PT 2023

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GéométrieSéries et familles sommables
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Banque
Banque PT
Année
2023
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2023PT MathsMaths 2023
2025_08_29_a3fc8a9e3ad0d4bb3923g

Epreuve de Mathématiques B

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 2 feuilles de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

  • Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
  • L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
  • Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
  • Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
  • Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.
Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.
Le sujet est composé de 4 parties. La partie 4 est indépendante du reste du sujet.

Première Partie.

On considère les matrices :
  1. Démontrer que l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice est une rotation dont on déterminera les éléments caractéristiques.
  2. Calculer et l'exprimer à l'aide de la matrice . Les calculs devront figurer sur la copie.
  3. Soit l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice et celui associé à la matrice .
    (a) Démontrer que est la composée commutative d'une symétrie et d'une projection dont on exprimera les matrices et dans la base canonique en fonction de et de deux autres matrices diagonales à préciser.
    (b) La symétrie est-elle unique?
    (c) La symétrie proposée à la question (a) est-elle orthogonale?
  4. (a) Justifier à l'aide des résultats précédents que la matrice est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres.
    (b) Justifier que est la composée de trois transformations simples que l'on précisera.
  5. (a) Démontrer que le vecteur est un vecteur propre de la matrice . Préciser la valeur propre associée.
    (b) Justifier que la matrice est inversible.
    (c) Sans calculer , ni le polynôme caractéristique de la matrice , démontrer que .
  6. Démontrer que les matrices et sont semblables. On mettra en évidence la relation entre ces deux matrices.

Deuxième Partie.

L'espace affine euclidien est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé ( ).
Pour , on considère la fonction vectorielle définie de dans par :
On note l'ensemble des fonctions lorsque ( ) parcourt et la courbe paramétrée sur par .
Enfin, les matrices et sont celles qui ont été définies dans la première partie.
  1. Démontrer que est un espace vectoriel dont on précisera une base et la dimension.
  2. Démontrer que tout élément de vérifie
où désigne la dérivée de la fonction .
3. Démontrer que toutes les courbes sont planes et qu'il est possible de choisir des plans qui les contiennent qui soient tous parallèles.
4. On considère la base ( ) de telle que la matrice de passage de la base à la base est la matrice .
(a) Exprimer chacun des vecteurs et en fonction des vecteurs .
(b) Justifier qu'une représentation paramétrique de dans le repère ( ) est
(c) En déduire que chaque courbe est incluse dans une hyperbole éventuellement dégénérée.

Troisième Partie.

L'espace affine euclidien est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé ( ).
Dans cette partie, on note la courbe définie dans la partie précédente.
Une représentation paramétrique de est donc : .
On note le point de de paramètre .
  1. Déterminer une représentation paramétrique et des équations cartésiennes de la tangente à au point .
  2. Soit un réel strictement positif. On note la longueur de la courbe entre les points et .
    (a) Etablir que pour tout .
    (b) En déduire un encadrement de puis un équivalent de lorsque tend vers .
  3. Soient la surface d'équation et le point de coordonnées .
    Pour tout réel , on note le plan d'équation .
    (a) Démontrer que .
    (b) Déterminer une équation du plan tangent en à .
    (c) Déterminer la nature de la courbe lorsque . On précisera ses élément caractéristiques.
    Qu'en est-il lorsque ?
    (d) Justifier soigneusement que est une surface de révolution dont on précisera l'axe .
    (e) Rappeler la définition d'une méridienne pour une surface de révolution.
    (f) Préciser la nature des méridiennes de .
    (g) Sur la première feuille de papier millimétré fournie, tracer l'allure de dans le repère ( ).
    Il est conseillé d'orienter vers le haut.
    (h) La surface de révolution obtenue en faisant tourner autour de est-elle égale à ?

Quatrième Partie.

Le plan affine euclidien est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé .
On considère la courbe de de représentation paramétrique
On note le point de de paramètre .
  1. Etablir les tableaux de variations des fonctions et . On précisera les limites aux bornes.
  2. Déterminer la tangente à au point .
  3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de avec l'axe des abscisses et préciser un vecteur directeur et une équation cartésienne de la tangente à en ce point.
  4. Etudier la branche infinie au voisinage de .
  5. Justifier qu'au voisinage de admet une asymptote oblique d'équation .
    Préciser la position relative de et .
  6. Dans le repère ( ), tracer la courbe , les tangentes et asymptotes déterminées dans les questions précédentes.
    Unité : 3 cm .
    On utilisera pour cela la deuxième feuille de papier millimétré fournie.
  7. On note le point de ayant la même abscisse que où est le point de de paramètre .
    (a) Pour tout , calculer la longueur .
    (b) Les séries et sont-elles convergentes?
Si oui, préciser leur somme.
(c) On note la partie du plan incluse entre la restriction de la courbe à , la droite et la droite d'équation .
La partie est-elle d'aire finie?

Fin d'épreuve

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