Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Partie I

On considère la fonction , impaire, périodique, dont la restriction à est donnée par :

(a) Donner les coefficients de Fourier, notés

, de la fonction

.
(b) Rappeler le théorème de Dirichlet.
(c) En déduire la convergence de la série de Fourier de

, et son expression, pour tout

.
(d) Montrer que, pour tout réel

(e) En déduire :

Soit un entier naturel non nul. On pose :

(a) Montrer que :

(b) Montrer que :

(c) Rappeler les formules d'Euler, relatives à l'exponentielle complexe.
(d) Rappeler la formule du binôme de Newton.
(e) Calculer, pour tout entier relatif

.
(f) A l'aide du binôme de Newton, exprimer, pour tout réel

en fonction d'exponentielles complexes.
(g) Que vaut

?
(h) En déduire :

Partie II

On considère les fonctions

, respectivement définies par :

Montrer que, pour tout réel strictement positif : .
Montrer que et sont bien définies sur .
Soit un réel strictement positif. Etudier la continuité et la dérivabilité de et sur .
Pour tout réel , comparer et .
(On pensera à remarquer que afin de pouvoir intégrer par parties)
Montrer que, pour tout réel strictement positif :

Montrer que a une limite nulle lorsque tend vers .
Déduire des questions précédentes l'expression de pour tout réel strictement positif .
On admet que :

Que vaut

Partie III

Soit

. On pose:

Montrer que est bien définie.
On considère la fonction .
(a) Donner le domaine de définition de .
(b) Montrer que est dérivable sur .
(c) Montrer que est développable en série entière sur (on ne calculera pas ici ce développement en série entière).
(d) Montrer que est solution sur de l'équation différentielle :

(e) On recherche le développement en série entière de

sur

sous la forme :

i. Donner, pour tout entier naturel non

, une relation de récurrence entre

.
ii. Pour tout entier naturel

, exprimer

en fonction de

.
iii. Donner le développement en série entière de

.
3. On suppose que :

En utilisant les résultats du I, en déduire l'expression de

sous la forme :

où

désigne la somme d'une série où les termes

, n'apparaissent plus.

Dans ce problème, on présente diverses méthodes de calcul du nombre transcendant

. Dans la première partie, on retrouve les intégrales de Wallis, que l'on calcule sans utiliser de relation de récurrence. Dans la seconde partie, on fait apparaître l'intégrale de Dirichlet,

, qui donne le calcul de l'intégrale de la fonction sinus cardinal

sur la demi-droite des réels positifs. Les relations permettant d'exprimer

en fonction de la somme d'une série permettent son calcul approché. La série de la partie III permet un calcul approché avec une convergence quadratique, donc plus puissante.