Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Partie I
Soit un entier naturel non nul. On considère les fonctions et définies, pour tout réel , par :
Etudier la parité de et . En déduire un domaine d'étude de ces fonctions.
On souhaite ici tracer les courbes représentatives des fonctions et sur un même graphe.
(a) Pour , exprimer à l'aide de la fonction sinus hyperbolique.
(b) Montrer que pour tout réel :
En déduire que pour tout .
(c) A l'aide de ces éléments, représenter sur un même graphe les courbes représentatives respectives des fonctions et sur dans un repère orthonormé direct.
On prendra comme unité 10 cm .
3. On suppose .
(a) Calculer, pour tout réel et .
(b) Etudier les variations de et sur .
(c) Montrer que, pour tout réel positif et .
(d) En déduire, pour tout réel de l'intervalle :
L'inégalité de droite est-elle encore vraie sur ?
(e) Dans cette question, on suppose fixé dans . Déterminer :
(a) Montrer que pour tout réel positif :
(b) Montrer la convergence de et calculer sa valeur.
(c) En déduire la convergence de ainsi que la majoration
Partie II
Pour tout réel , on pose :
Montrer que est définie et continue sur .
Que vaut ?
(a) Soit un réel strictement positif. Montrer que est dérivable sur .
(b) Montrer que est dérivable sur .
Etudier les variations de sur , et en déduire que, pour tout réel positif :
Montrer que vérifie, pour , l'équation différentielle
(a) Donner la solution générale, sur , de l'équation homogène ( ) associée à .
(b) Soit . A l'aide d'une intégrale, exprimer la primitive s'annulant en de la fonction qui, à tout réel , associe .
(c) Soit . Montrer qu'il existe un réel tel que, pour tout ,
(a) Montrer que pour tout , l'intégrale est convergente, et que
(b) En faisant tendre vers 0 dans , donner une expression de à l'aide d'une intégrale, et en déduire que pour tout
Montrer que, pour tout réel positif :
En déduire la valeur de .
Partie III
Etudier la convergence de la série de terme général .
Montrer que la fonction qui, à tout réel , associe , est développable en série entière sur un domaine que l'on précisera, et donner ce développement.
Montrer que :
Pour tout entier naturel , on pose . On admet le résultat suivant :
(a) Proposer, uniquement avec les données fournies par le problème, une méthode permettant de déterminer une valeur numérique approchée de avec une précision donnée.
(b) Donner un nombre rationnel qui soit une valeur numérique approchée de à près ( pourra être laissé sous forme de somme de fractions : il n'est pas demandé d'exprimer sous forme de fraction irréductible ni d'en donner une valeur numérique approchée).
On étudie, dans ce problème, diverses propriétés des fonctions gaussiennes, dont un exemple bien connu est la densité de probabilité de la loi normale
où est l'espérance mathématique, et l'écart-type.
Ces fonctions sont très utilisées, notamment, en physique statistique. Ainsi, en théorie cinétique des gaz, la loi de distribution de vitesses de Maxwell, qui est gaussienne, permet de quantifier la répartition des molécules entre les différentes vitesses dans un gaz en équilibre thermodynamique global, à température uniforme.
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