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Banque PT Mathématiques C PT 2019

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Banque
Banque PT
Année
2019
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2019PT MathsMaths 2019
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Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Préambule

  1. Soit la fonction qui, à tout réel strictement positif . Montrer que la fonction est constante sur (on précisera la valeur prise par sur .
  2. (a) Pour tout réel de , exprimer en fonction de .
    (b) Pour tout réel de , comparer et .
    (c) Pour tout réel de , on pose :
On demande d'exprimer en fonction de .

Partie I

Pour tout entier naturel , on pose:
  1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel , l'intégrale est convergente.
    (b) Que vaut ?
    (c) Donner une primitive de la fonction qui, à tout réel positif , associe : (on pourra utiliser la fonction à valeurs complexes ).
    (d) Pour tout entier naturel , montrer, à l'aide d'une double intégration par parties, la relation :
(e) En déduire, pour tout entier naturel , l'expression de en fonction de et du produit .
2. (a) Pour tout entier naturel non nul , on pose : . Etudier la nature de la série de terme général .
(b) Pour tout entier naturel non nul , comparer : et .
(c) Quelle est la limite de la suite de terme général ?

Partie II

Pour tout réel de , on pose : .
  1. Que vaut ?
  2. Soit . Etudier la dérivabilité de sur , et exprimer, pour tout réel de en fonction de .
  3. Etudier la dérivabilité de sur .
  4. A l'aide du changement de variable , montrer que, pour tout réel de :
(On pensera à utiliser le Préambule.)
5. En déduire, pour tout réel de , une relation entre et .
Pour ce qui suit, on utilisera le fait que, pour tout réel de :
  1. (a) Donner la solution générale sur de l'équation différentielle homogène :
(b) A l'aide de la méthode de variation de la constante, donner la solution générale sur ] - 1,1 [ de l'équation différentielle :
(c) Donner les solutions respectives des problèmes de Cauchy :
et :
(d) Pour tout réel de , déduire de la résolution de une expression simplifiée de avec la fonction arcsinus.
7. Pour tout réel de , déduire de la question 2 . la valeur de .
8. Dans cette question, on recherche les solutions développables en série entière sur un domaine , de l'équation différentielle :
sous la forme :
où, pour tout entier naturel est un réel. On pose : .
(a) Que vaut ?
(b) Donner, pour tout entier naturel non nul , une relation de récurrence reliant et .
(c) Exprimer, pour tout entier naturel et en fonction de et .
9. On suppose désormais que :
(a) Enoncer le critère de d'Alembert pour les séries numériques.
(b) Déterminer la valeur du rayon de convergence de .
(c) A l'aide de la question 6. c., donner le développement en série entière de la fonction . On précisera le rayon de convergence et le(s) théorème(s) utilisé(s)
10. On suppose désormais que:
Pour tout entier naturel , on pose:
(a) Démontrer que la suite vérifie la même relation de récurrence que la suite , établie à la question 8. b.
(b) Calculer et . Que remarque-t-on?
(c) Déterminer le sens de variation et le signe de la suite . En déduire, pour tout entier naturel non nul , une relation entre et .
(d) En déduire :
Qu'en est-il de :
(e) Montrer que la suite de terme général est constante (on précisera la valeur de cette constante).
(f) Justifier que, lorsque l'entier tend vers l'infini:
(g) Déterminer la valeur du rayon de convergence de . On précisera le théorème utilisé.
(h) Montrer que, lorsque l'entier tend vers l'infini :
  1. On suppose désormais que est quelconque. A l'aide des questions 9 et 10 , déterminer le rayon de convergence de .
Dans la première partie, on étudie des variantes, sous forme d'intégrales généralisées, des classiques intégrales de Wallis. On les retrouve en seconde partie, à travers l'étude cette fois d'une intégrale à paramètres vérifiant une équation différentielle, et pouvant aussi s'exprimer comme la somme d'une série entière. Ces intégrales, telles qu'exposées par le mathématicien anglais John Wallis (1616-1703), dans son livre Arithmetica infinitorum , concernaient initialement le calcul de , en lien avec l'aire du disque unité, ce qui conduit à une méthode permettant d'approximer le nombre transcendant .

FIN DE L'ÉPREUVE

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