Version interactive avec LaTeX compilé

Banque PT Mathématiques C PT 2021

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile

0.0(0 votes)

🔗 Explorer

Banque PT PT Banque PT 2021 PT Maths Maths 2021

2025_08_29_a8d2106b6b05868577e4g

Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille dont l'entête n'a pas été intégralement renseignée, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance

Préambule

Donner les solutions sur de l'équation différentielle :

Dans ce qui suit, on désignera par

la solution de

prenant la valeur 1 en zéro. Il est demandé de donner explicitement

.
2. Déterminer la dérivée seconde

et la dérivée troisième

.
3. Déterminer, après avoir justifié leur existence :

(a) Enoncer le théorème des accroissements finis.
(b) Soit un réel strictement positif. Montrer qu'il existe un réel strictement positif, que l'on explicitera, tel que :

Montrer que, pour tout entier naturel , la dérivée de s'exprime à l'aide de et d'une fonction polynomiale , dont on précisera la parité, et le degré. On désignera par le coefficient dominant de .
Donner, pour tout entier naturel , une relation entre et , puis exprimer en fonction de l'entier .

Partie I

Pour tout entier naturel

, on pose:

On donne :

Soit une fonction définie sur . Montrer que si la fonction est paire, alors converge si et seulement si converge.
Montrer que, pour tout entier naturel et sont des intégrales convergentes.
Donner, pour tout entier naturel pair , une relation entre et . Que vaut si l'entier est impair?
Calculer .
Déterminer, pour tout entier naturel , une relation de récurrence entre et .
Soit un entier naturel. Montrer que :

et exprimer, en fonction de

.
7. (a) Montrer que toute fonction polynomiale

, l'intégrale

converge.
(b) Soit

une fonction polynomiale telle que :

Montrer que la fonction

est identiquement nulle.
(c) Montrer que l'application :

est un produit scalaire sur

.
(d) Justifier :

On rappelle que la suite de polynômes

a été introduite dans le Préambule. On admettra, pour la suite du problème que :

(e) Construire une base orthonormée du sous-espace vectoriel de

engendré par

Partie II

Pour tout réel

, on pose :

Etudier la parité de .
Montrer que, pour tout réel :

Etudier la continuité et la dérivabilité de (on pourra utiliser le résultat du Préliminaire donnant ).
Que vaut :

Etudier la convergence de la série de terme général .
(a) Donner l'expression de la dérivée de .
(b) Résoudre : .
(c) Etudier les variations de la fonction . Il est demandé de donner le tableau de variations de la fonction .
Montrer que, pour tout réel strictement positif :

Tracer l'allure du graphe de la fonction .
(a) Justifier le fait que la fonction admette des primitives sur . On désignera par la primitive de s'annulant en 0 .
(b) On introduit :

Justifier l'existence de

dans

.
(c) Montrer que :

.
10. (a) Rappeler le développement en série entière de la fonction exponentielle.
(b) Donner le développement en série entière de la fonction

, en précisant son rayon de convergence.

Partie III

é

Pour tout entier naturel non nul

, tout entier naturel

, et tout réel

, on pose :

Soit un réel, et un entier naturel. Donner, le plus simplement possible, la valeur de .
Soit un réel tel que : . On considère une suite de variables aléatoires indépendantes , suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre . Pour tout entier naturel non nul , on pose : . Quelle est la loi de la variable aléatoire ? On donnera la valeur de son espérance .
(a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul :

(b) Soit

un réel strictement positif. Enoncer la loi faible des grands nombres, et en déduire que pour tout

, il existe un entier

tel que, pour tout entier

. Que peut-on dire de l'ensemble :

(d) En déduire qu'il existe un entier

tel que, pour tout entier

où on rappelle que la fonction

a été introduite dans le Préambule. Que peut-on en déduire?

On s'est intéressé, dans ce problème, à l'étude de quelques propriétés de la fonction gaussienne

, qui apparaît notamment dans l'expression de la densité de probabilité de la loi normale, à laquelle tendent à obéir de nombreux phénomènes concrets : résistance à l'usure et à la pression par exemple.

Après un Préambule qui fait apparaître les polynômes d'Hermite lors du calcul de dérivées

, la première partie permet, dans un premier temps, de calculer les moments d'ordre

. Ensuite, on aborde d'autres propriétés, calculs d'intégrales diverses, puisque la fonction gaussienne peut aussi être utilisée pour définir un produit scalaire sur des espaces de polynômes. Dans la seconde partie, interviennent une fonction et des séries construites à partir de

. Enfin, dans la troisième partie, on montre, à l'aide d'un résultat du cours de probabilités, la loi faible des grands nombres, que la fonction gaussienne peut s'obtenir comme limite d'une suite de fonctions polynomiales (faisant intervenir une autre famille de polynômes remarquables : les polynômes de Bernstein), résultat important dès que l'on veut faire du calcul numérique. Cela permet de faire le lien avec la première partie, l'aspect << produit scalaire >> intervenant pour déterminer la précision et la fiabilité d'une approximation : à quelle distance de la solution exacte est la solution approchée ? On notera que le cas étudié dans ce problème est un cas particulier du théorème d'approximation de Weierstrass : toute fonction continue sur un segment peut être approchée par une suite de fonctions polynomiales.