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Banque PT Mathématiques C PT 2023

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesPolynômes et fractionsSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)
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Banque
Banque PT
Année
2023
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2023PT MathsMaths 2023
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Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 2 feuilles de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

  • Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
  • L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
  • Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
  • Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
  • Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance

Préambule

Dans ce qui suit, on désigne par et trois réels distincts, et par une fonction polynomiale de degré strictement plus petit que trois, qui ne s'annule pas en et . Soit la fonction polynomiale définie, pour tout réel , par :
On pose, pour tout réel de :
On admet qu'il existe trois réels tels que, pour tout réel de :
  1. En calculant, de deux façons différentes :
établir que :
Donner les expressions analogues pour et (en les justifiant brièvement).
2. On suppose désormais que, pour tout réel :
avec l'hypothèse suivante :
Donner les valeurs explicites de et .

Partie I

On considère la fonction qui, à tout réel de son domaine de définition , associe :
  1. Déterminer . Ce résultat sera nécessairement justifié à l'aide d'un tableau de signes.
  2. Justifier que est dérivable sur . On désigne par sa dérivée.
  3. Montrer que, pour tout réel de :
  1. On s'intéresse, dans ce qui suit, à la série entière .
    (a) Déterminer son rayon de convergence .
    (b) Rappeler le développement en série entière de la fonction , ainsi que son rayon de convergence.
    (c) . Donner le développement en série entière de la fonction , en précisant le rayon de convergence.
    ii. Vérifier que, pour tout réel peut s'exprimer comme une combinaison linéaire de et .
    (d) Déduire de la question précédente, en justifiant le résultat à l'aide d'un théorème de cours, le développement en série entière de la fonction , en précisant le rayon de convergence, que l'on comparera à la valeur obtenue en .
    (e) Montrer que, pour tout réel de :
(f) Pour tout réel de , exprimer, à l'aide de fonctions usuelles :
Indication : on pensera à utiliser les résultats du Préambule.
(g) Déterminer :
  1. On considère désormais la série de terme général , pour .
    (a) Etudier la convergence de la série de terme général , pour .
    (b) Pour tout entier naturel non nul , on pose:
Montrer que, pour tout entier naturel non nul :
(c) Montrer que, pour tout entier naturel non nul :

Partie II

Soit une fonction de classe sur , à valeurs positives, et une série à termes strictement positifs.
Pour tout réel positif , on désigne par la partie entière de , et on pose :
avec la convention .
  1. Tracer, sur deux graphes distincts, les courbes représentatives respectives de la fonction partie entière, et de la fonction qui, à tout réel , associe (échelle : 1 cm pour une unité).
  2. Dans cette question uniquement, on désigne par une suite réelle. Montrer que, pour tout entier naturel non nul :
  1. Vérifier que, pour tout réel :
  1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul :
  1. Montrer que, pour tout réel :
  1. Exprimer, pour tout entier naturel en fonction de .
  2. (a) Montrer que :
(b) A l'aide des questions précédentes, montrer que, pour tout réel :
  1. On suppose désormais que, pour tout entier naturel non nul .
    (a) Montrer que, pour tout réel est égal à la partie entière de :
(b) Montrer que, pour tout réel :
(c) A l'aide des relations des questions précédentes, montrer que, pour tout réel :
  1. Dans ce qui suit, on suppose désormais que est la fonction qui, à tout réel , associe :
(a) i. Montrer que, lorsque tend vers :
ii. Montrer la convergence de l'intégrale :
iii. Que vaut :
(b) Montrer que, pour tout entier naturel :
(c) Montrer qu'il existe une constante réelle telle que, lorsque l'entier tend vers l'infini :
  1. A l'aide des résultats précédents, déterminer : .
  2. En déduire la valeur de , où désigne la fonction introduite au début de la partie I, question 2.
La constante d'Euler, qui permet d'obtenir un équivalent des sommes partielles de la série harmonique, est très utile pour calculer explicitement des sommes de séries, comme cela est fait au cours de la première partie du problème. Elle peut s'exprimer en fonction d'une intégrale généralisée faisant intervenir la partie fractionnaire, comme cela est étudié au cours de la seconde partie.
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