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Banque PT Mathématiques C PT 2024

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresPolynômes et fractionsSéries et familles sommables
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Banque
Banque PT
Année
2024
Filière
PT
Matière
Maths
Banque PT PTBanque PT 2024PT MathsMaths 2024
2025_08_29_47278672620c0ea50c81g

Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

  • Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
  • L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est interdit.
  • Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
  • Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
  • Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

Préambule

  1. Rappeler, pour tout réel de [, les deux expressions (l'une faisant intervenir la fonction cosinus, l'autre la fonction tangente) de la dérivée de la fonction
  1. (a) Montrer que la fonction qui, à tout réel de , associe , se prolonge en une fonction continue sur . Montrer que est dérivable sur .
    (b) En déduire une primitive sur de la fonction
  1. On considère les fonctions
(a) Expliciter les domaines de définition respectifs et des fonctions et .
(b) Montrer que les fonctions et sont périodiques, de périodes respectives et que l'on explicitera.
(c) Donner les domaines de dérivabilité respectifs des fonctions et .
(d) Donner, en tout réel du domaine de dérivabilité de la fonction , l'expression de .
(e) Montrer que, en tout réel du domaine de dérivabilité de la fonction ,
et en déduire une expression simplifiée de .
(f) Etudier les variations des fonctions et . On donnera leurs tableaux de variations respectifs sur une période, en précisant les limites aux bords.
Donner, également, les valeurs des fonctions et en .
(g) Tracer, sur un même graphe (échelle : 1 cm pour une unité), la courbe représentative de sur et la courbe représentative de sur .
4. On considère la fonction
(a) Expliciter le domaine de définition de la fonction . Quel est le domaine de dérivabilité de ?
(b) Etudier les variations de la fonction sur . On donnera son tableau de variations, en précisant les limites aux bords.

Partie I

  1. (a) Donner une primitive sur de la fonction logarithme népérien ln.
    (b) Soit . Exprimer, en fonction de :
(c) Etudier la convergence de
  1. Etudier la convergence de
  1. Rappeler le développement en série entière de la fonction arctangente (Arctan). On précisera le rayon de convergence.
  2. Montrer que :
On précisera et on énoncera le théorème utilisé.
Exprimer alors en fonction de la somme d'une série, et sans le signe intégral.
5. On pose :
(a) Montrer, à l'aide du changement de variable , que :
(b) Justifier que est une valeur approchée de (on donnera la précision).
(c) Pour tout entier naturel non nul , on pose :
Soit un entier strictement plus grand que 2. Donner la valeur d'un entier naturel non à partir de laquelle est une valeur approchée de à près.

Partie II

On considère l'équation différentielle sur :
  1. On introduit la fonction qui, à tout réel de , associe :
Montrer que, pour tout réel de :
  1. Résoudre l'équation homogène associée à .
  2. Montrer que les solutions de sur sont de la forme :
où est une solution de l'équation homogène associée à .
4. Dans cette question, on souhaite retrouver de façon différente le résultat obtenu précédemment. Pour cela, on cherche les solutions de sur de la forme :
où est une fonction deux fois dérivable sur .
(a) Montrer que si est solution de sur , alors est solution sur d'une équation différentielle du premier ordre, notée ( ).
(b) Déterminer les solutions de l'équation homogène associée à ( ), puis appliquer la méthode de variation de la constante pour déterminer les solutions de . Donner alors, pour tout réel de , l'expression de en fonction de .
(c) A l'aide du Préambule, exprimer, pour tout réel de en fonction de .
(d) Montrer que l'on retrouve bien l'expression des solutions de sur obtenues plus haut.

Partie III

On introduit les fonctions et , définies respectivement sur les domaines et , par :
  1. Expliciter, en le justifiant avec soin, .
  2. Etudier la continuité de la fonction .
  3. Déterminer :
  1. Etudier la dérivabilité de la fonction (pour cela, on se placera sur un intervalle de la forme , où est un réel strictement positif), puis expliciter (à l'aide d'une intégrale).
  2. (a) Expliciter .
    (b) Montrer que la fonction est de classe sur . On explicitera la dérivée de .
  3. A l'aide du changement de variable , montrer que, en tout réel de son domaine de dérivabilité,
(On distinguera les cas et ).
7. Montrer que la fonction est constante, en précisant la valeur de cette constante.
8. En déduire la valeur de l'intégrale de Gauss , ainsi qu'une expression simplifiée de , pour tout réel .

Partie IV

  1. Rappeler le développement en série entière de la fonction sinus (on précisera le rayon de convergence, ainsi que le domaine de convergence).
  2. On considère la fonction , telle que :
Montrer que est développable en série entière, puis donner son développement en série entière.
3. Dans cette question, désigne un entier strictement positif, et est un réel quelconque. On introduit le polynôme tel que :
Quel est le coefficient, noté , de dans ?
4. On admet, pour tout réel non nul :
On désigne par le coefficient de dans le développement en série entière de , et on suppose, de plus, que :
En déduire, grâce développement en série entière de , la valeur de .
5. En déduire la valeur de
ainsi que celle de :
  1. On pose :
Que vaut ? ( est la constante introduite dans la Partie I)
7. On donne :
Donner une valeur approchée de .
Dans ce problème, les propriétés de fonctions trigonométriques permettent d'exprimer des sommes de séries classiques - comme , où est la constante de Catalan - ou encore, la très classique intégrale de Gauss, dont la valeur est déterminée ici à l'aide d'intégrales à paramètres.
Fin de l'épreuve
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