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Banque PT Mathématiques C PT 2025

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries entières (et Fourier)Equations différentielles

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Banque PT PT Banque PT 2025 PT Maths Maths 2025

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Epreuve de Mathématiques C

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

CONSIGNES:

Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est strictement interdit. Les surveillants et surveillantes se réservent le droit de les confisquer.
Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. La présence d'une information d'identification en dehors du cartouche donnera lieu à un point de pénalité et la page concernée pourra être soustraite de la correction.

Préambule

Etudier la convergence des intégrales

Enoncer le théorème de changement de variable pour les intégrales généralisées.
Comparer (sans les calculer)

(On pourra utiliser le changement de variable

Partie I

Déterminer le domaine de définition de la fonction qui, à tout réel de , associe :

Soit un réel positif. Calculer puis, à l'aide de ce résultat, .
Que vaut :

Déterminer une primitive sur de la fonction qui, à tout réel , associe :

On considère la fonction qui, à tout réel de son domaine de définition , associe :

Montrer que

, puis déterminer une primitive

sur

.
6. Utiliser la primitive de

obtenue lors du calcul de la question précédente pour calculer simplement, pour tout réel positif

Déterminer :

Calculer, pour tout réel :

(a) Que vaut :

(b) Déduire des questions précédentes et du Préambule la valeur de

Calculer . On donnera la réponse en fonction de et .

Partie II

Dans cette question, et désignent deux fonctions à valeurs réelles, paires, définies sur un intervalle de la forme , où est soit un réel strictement positif, soit .

On considère les équations différentielles suivantes :

avec les conditions initiales

Le but de cette question est de déterminer les expressions des fonctions

, en recherchant leur développement en série entière sur

.
(a) Pour tout réel

, on pose:

Montrer que, pour tout entier naturel non nul

(b) En déduire, pour tout entier naturel

sont supposées paires. Que peut-on en déduire pour les coefficients de leurs développement en série entière respectifs?
(d)

. Montrer que tout entier naturel

peut s'écrire sous l'une des formes suivantes

où

est dans

. Montrer que, pour tout entier naturel

qui n'est pas multiple de 4 :

(e) Montrer que, pour tout entier naturel

(f) Déterminer le rayon de convergence

de la série entière

et donner, pour tout réel

, une expression simplifiée de

, puis de

.
2. On considère la série entière

.
(a) Préciser le rayon de convergence

de cette série entière, puis, pour tout réel

, exprimer la somme

de la série

en fonction de

.
(b) Montrer que

peut s'exprimer comme la somme d'une série numérique, que l'on explicitera.
(c) Que vaut :

Partie III

Pour tout réel

, on pose :

Montrer la convergence de l'intégrale .

On donne, pour la suite du problème :

Etudier la convergence des intégrales

A l'aide d'une intégration par parties, montrer que les limites

existent et sont finies.
4. Montrer la convergence de l'intégrale

Donner le développement en série entière de la fonction

(a) Déterminer le domaine de définition de la fonction :

(b) Montrer que, pour tout réel strictement positif

(d) Etudier la dérivabilité sur

de la fonction

introduite à la question 6. (a) (pour cela, on se placera sur un intervalle de la forme

, où

sont deux réels strictement positifs tels que

).
(e) Montrer que, pour tout réel strictement positif

(f) En déduire, à l'aide des résultats de la Partie I, la valeur de

puis de

où

sont les fonctions introduites au début de la Partie II.

Dans ce problème, on calcule, à l'aide d'intégrales généralisées, la valeur de l'intégrale (complexe)

, connue comme l'expression complexe des intégrales (réelles) de Fresnel, qui interviennent dans les phénomènes de diffraction. La somme pour toutes les valeurs de

peut s'interpréter intuitivement (et de façon très simplifiée) comme le fait qu'à chaque fois qu'une onde lumineuse se propage, une infinité de rayons sont à prendre en compte - et on somme les effets de cette infinité de rayons, en lien avec le principe de superposition de Huygens-Fresnel, en physique.

Fin de l'énoncé