Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'utilisation des calculatrices est autorisée.

Chaque candidat reçoit, avec le sujet, un document réponse sur feuillet mobile, à rendre avec la copie.

Au début de chaque partie, son "poids" dans le barème est indiqué en pourcentage.

Les trois parties et de cette épreuve sont indépendantes.

Aucune connaissance préalable du moteur asynchrone n'est nécessaire pour l'étude de cette partie.

Un moteur asynchrone est constitué d'un stator et d'un rotor.
Le stator est réalisé à l'aide d'un ensemble de bobines fixes destinées à engendrer dans une zone limitée de l'espace un champ magnétique tournant .
Le rotor est modélisé par un cadre conducteur rectangulaire de surface S , contenant N spires mobile autour d'un axe.

Soit un ensemble de trois bobines, dont les axes sont régulièrement décalés de dans le plan xOy , et alimentées par un système triphasé de courants de pulsation dont les intensités sont les suivantes:

La fréquence d'alimentation de ces bobinages statoriques est égale à 50 Hz .

Chaque bobine crée au centre O un champ magnétique qui peut se mettre sous la forme : ( K est une constante et est le vecteur unitaire de l'axe de la jème bobine).
1.1. Déterminer les composantes sur Ox et Oy du champ magnétique total en O .

On notera sa norme que l'on exprimera en fonction de et .
1.2. Justifier l'appellation de champ tournant pour ce champ magnétique total .

Préciser à quelle vitesse angulaire ce champ tourne dans le plan xOy.
Calculer la valeur numérique de la vitesse de rotation du champ tournant en tours par minute (tr/mn).

Le rotor est modélisé par un cadre conducteur rectangulaire de surface , orienté suivant la normale , contenant spires planes filiformes et indéformables en série, et susceptible de tourner autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire constante.
Le cadre est placé dans le champ magnétique tournant que l'on suppose uniforme, de norme notée B.
Les positions angulaires de et sont repérées par les angles suivants:

Dans toute la suite, on suppose que : .

2.1. Déterminer le flux du champ magnétique créé par le stator à travers les spires du cadre, en fonction de et t .
2.2. En déduire la force électromotrice d'induction e(t) qui apparaît dans celui-ci en fonction du flux maximum à travers le circuit , et de la vitesse angulaire de glissement est positive ou nulle).
2.3. Le cadre est équivalent à un circuit série de résistance et d'inductance propre .
a) Etablir l'équation différentielle vérifiée par le courant dans la bobine.
b) En déduire l'expression de en régime permanent sinusoïdal que l'on mettra sous le forme suivante :

Exprimer, en fonction de et , l'amplitude de et le retard de phase de par rapport à la force électromotrice déterminée à la question 2.2.

Le cadre rectangulaire est parcouru par le courant .

On note le moment par rapport à l'axe Oz du couple électromagnétique des forces de Laplace s'exerçant sur les N spires du cadre.
3.1. Etablir l'expression de .
3.2. Montrer que sa valeur moyenne notée est donnée par l'expression suivante :

3.3. On introduit le glissement, noté g , qui caractérise l'écart relatif entre la vitesse angulaire de synchronisme et la vitesse angulaire de rotation de l'arbre du moteur : .
Que vaut le glissement g lorsque le moteur est à l'arrêt?
Que vaut le glissement lorsque le moteur tourne à la vitesse angulaire de synchronisme?
3.4. On pose . Exprimer la nouvelle expression du moment en fonction de , et du produit .
3.5. Donner l'expression, notée , de ce moment au démarrage du moteur.

3.6. Déterminer, en fonction de , la valeur maximale de et préciser l'expression littérale du glissement correspondant.
3.7. Applications numériques : et . On rappelle que est égale à la pulsation des courants des bobinages statoriques étudiés au A.1.
a) Calculer les valeurs numériques de , et .
b) En déduire la vitesse de rotation du moteur n en pour .
c) Pour calculer la valeur efficace notée de l'intensité du courant rotorique.
3.8. Tracer sur la copie l'allure du graphe lorsque la vitesse angulaire du moteur évolue entre l'arrêt et la vitesse angulaire de synchronisme.
3.9. La charge mécanique accouplée à l'arbre du moteur correspond à un couple résistant de moment par rapport à l'axe de rotation constant et noté ( ), avec .
a) Que se passe-t-il si est supérieur à ?
b) Montrer par une analyse graphique que, si , il existe deux points de fonctionnement du moteur correspondant à deux vitesses de rotation du rotor et .
c) Etudier de façon qualitative leur stabilité (on pourra noter J le moment d'inertie, par rapport à l'axe Oz, de l'ensemble mobile en rotation) .
d) Pour augmenter le "couple au démarrage" , on ajoute une résistance supplémentaire en série dans le circuit du rotor.
Calculer la nouvelle valeur numérique de pour .

On note la puissance mécanique moyenne et la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans les conducteurs du rotor .
4.1. Exprimer et en fonction de , et .
4.2. La puissance électromagnétique moyenne transmise du stator vers le rotor est intégralement convertie en puissance mécanique moyenne et en puissance moyenne dissipée par effet Joule dans les conducteurs du rotor.
En déduire l'expression du rendement en fonction de et ; on rappelle que .
4.3. Application numérique : calculer la valeur du rendement pour un glissement égal à .

On considère une plaque rectangulaire d'épaisseur et de largeur .

La plaque est parcourue par un courant d'intensité I , uniformément réparti sur la section de la plaque et de densité de courant volumique .
La conduction électrique est assurée par des porteurs mobiles identiques, de charge q, de nombre par unité de volume noté n.
La plaque est placée dans un champ magnétique uniforme créé par des sources extérieures. On néglige le champ magnétique créé par le courant I dans la plaque devant .
1.1. Exprimer le vecteur vitesse des porteurs de charge dans la plaque en fonction de , n et q .
1.2. Montrer qu'il existe en régime permanent un champ électrique, perpendiculaire à , appelé champ électrique de Hall . Exprimer les composantes de .
1.3. Déterminer, en régime permanent, la valeur de la différence de potentiel transversale où et sont deux points de même abscisse et d'ordonnées respectives et .
Montrer que , tension de Hall, peut s'écrire IB. Expliciter la constante .
1.4. Pour un sens de courant et de champ magnétique donnés, quelle information concernant le phénomène de conduction apporte le signe de la tension de Hall ?
1.5. On peut utiliser deux matériaux : I'un qualifié de conducteur métallique, l'autre de semiconducteur, dont les caractéristique sont les suivantes:

a) Calculer la constante de Hall pour les deux matériaux.

Afin d'obtenir une tension de Hall de valeur absolue maximale pour ce capteur, quel matériau doit-on préférer?
b) Pour une intensité et un champ magnétique , calculer pour deux épaisseurs ou pour le matériau choisi.
Quelle épaisseur est-il préférable d'utiliser?
1.6. On souhaite établir la relation entre le champ électrique total dans la plaque et la densité de courant en présence du champ magnétique .
Soit la composante du champ électrique colinéaire à : on pose .
Montrer qu'en présence du champ magnétique, on .
1.7. Pour le semi-conducteur de type considéré précédemment, tracer dans un plan xOy de la plaque les vecteurs et les lignes équipotentielles en présence du champ magnétique.
1.8. Soit l'angle entre les vecteurs et .

Calculer la valeur de pour un champ magnétique extérieur .

Une sonde à effet Hall, d'épaisseur , est insérée dans l'entrefer d'un circuit magnétique torique d'épaisseur pratiquement égale à h et de section S , voir figure 5 ci-dessous.

Dans toute cette partie B. 2 , l'épaisseur de la sonde vaut et la section de l'entrefer vaut .
Le matériau dont est constituée la sonde a une constante de Hall .
La sonde à effet Hall est parcoure par un courant d'intensité constante I = 100 mA .
Le courant à mesurer traverse le plan xOz du circuit magnétique torique au centre de celui-ci.
Il produit un champ magnétique dont les lignes de champ sont canalisées dans le circuit magnétique.
On admet que le champ magnétique dans l'entrefer est uniforme, de direction parallèle à Oz, et a sensiblement pour valeur .
2.1. Capteur de courant à boucle ouverte

a) A l'aide du résultat de la question 1.3. montrer que la tension de Hall peut s'écrire : . Expliciter la constante .
b) Pour , calculer la valeur numérique de .

Calculer pour un courant .
c) Pour amplifier la tension , on utilise un montage à A.O. supposé idéal. Exprimer la tension en fonction de et .
d) On souhaite obtenir une tension de sortie avec . Proposer des valeurs pratiques pour les résistances et .

Ce type de capteur de courant à effet Hall utilise un bobinage secondaire autour du tore, composé de spires, et parcouru par un courant d'intensité is.

Le courant is produit un champ magnétique dont les lignes de champ sont canalisées dans le circuit magnétique.
On admet que le champ dans l'entrefer est uniforme, de direction parallèle à Oz , et qu'il a sensiblement pour valeur .
Ce courant est fourni par un "amplificateur de puissance" dont la tension de sortie vérifie la relation : .

Le bobinage secondaire a une résistance et une inductance propre .
La tension de sortie du capteur de courant, , est prélevée aux bornes de la résistance .

a) Dans cette question, on suppose que est nulle.

On suppose que l'énergie magnétique, associée à , est localisée principalement dans l'entrefer.
Donner l'expression de l'énergie magnétique stockée dans l'entrefer due au bobinage secondaire.
En déduire la valeur de l'inductance propre du bobinage secondaire.
Calculer sa valeur numérique pour spires.
On se place en régime variable pour le courant à mesurer .
Ce courant crée également dans l'entrefer un champ magnétique égal à .
b) Etablir l'équation différentielle régissant l'intensité et la mettre sous la forme suivante:

Exprimer et en fonction des éléments de ce capteur de courant, et de .
c) Pour et , calculer les valeurs numériques de et .
d) On applique un échelon de courant : pour , et pour . Déterminer l'expression de la tension de sortie du capteur , en utilisant notamment les notations et , et la représenter graphiquement. Calculer numériquement .

Aucune connaissance préalable du wattmètre n'est nécessaire pour l'étude de cette partie.
On se propose d'étudier le fonctionnement d'un wattmètre électronique comprenant :

On considère un dipôle d'impédance complexe alimenté par une tension sinusoïdale .

On exprime le courant de la façon suivante : .
1.1. Donner les expressions de l'amplitude de l'intensité et du déphasage en fonction de et .
Quel est le signe de lorsque le dipôle est inductif ?
1.2. Calculer la puissance active, valeur moyenne de la puissance instantanée reçue par le dipôle, en fonction de , l et .
1.3. Pour une impédance exprimée en et une amplitude volts, calculer les valeurs numériques de et .

Pour mesurer la puissance active absorbée par la charge, on utilise un wattmètre électronique réalisé selon le schéma fonctionnel suivant :

Le capteur de tension fournit une tension image de : .
Le capteur de courant fournit une tension image de : .
Le multiplieur est un circuit électronique qui produit la tension: .
Le moyenneur (étudié à la question 3) permet d'obtenir une tension "lissée", telle que : .
2.1. Etablir l'expression de la valeur moyenne de et montrer que est proportionnelle à : .
Expliciter la constante .
2.2. On a mesuré une tension à la sortie du wattmètre.

Sachant que et , en déduire la valeur de la puissance active P mesurée par le wattmètre.

Pour obtenir la valeur moyenne du signal on utilise un filtre passe-bas.
Le filtre passe-bas est réalisé à l'aide d'un amplificateur opérationnel que l'on supposera idéal.
Le schéma correspond à une structure dite "de Rauch".

3.1. En utilisant au point puis au point l'expression de la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millman), établir deux relations entre et .
3.2. Déterminer la fonction de transfert .
3.3. On cherche à mettre sous la forme canonique suivante :

Déterminer . Donner deux relations entre , et les éléments du circuit.
3.4. On souhaite obtenir une fréquence propre et un coefficient d'amortissement . On choisit .
Calculer les valeurs des capacités et .
3.5. Pour les valeurs numériques précédentes, tracer le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) ainsi que l'allure de la courbe réelle sur le document-réponse fourni sur le feuillet mobile en annexe, qui devra être rendu avec la copie.
3.6. Donner, sans nouveau calcul, l'équation différentielle reliant les tensions et , équation où figurent les constantes et .
3.7. On applique à l'entrée du filtre passe-bas le signal de sortie du multiplieur . A l'entrée du wattmètre on a pour la tension et le courant:
et , avec volts, rad.s , et .

Montrer que la tension de sortie du filtre passe-bas est l'opposée, en régime forcé, de la valeur moyenne de à laquelle se superpose une composante alternative.
Déterminer l'amplitude de cette composante alternative et calculer sa valeur numérique.
En déduire la précision relative de la mesure de la puissance active .

Pour réaliser le capteur de tension, on utilise un transformateur constitué d'un bobinage primaire de spires et d'un bobinage secondaire de spires.

On suppose le transformateur parfait.
4.1. Donner la relation qui relie la tension primaire à la tension secondaire , ainsi que la relation entre et .
4.2. Pour une tension efficace de 230 V au primaire, on souhaite une tension efficace de 5 V au secondaire. Calculer la valeur du rapport de transformation .
On bobine 500 spires au primaire; calculer le nombre de spires que doit comporter le secondaire.
4.3. Pour prélever la tension aux bornes du dipôle d'impédance , le circuit primaire du transformateur est branché en parallèle sur ce dipôle.
La résistance d'entrée du multiplieur vaut , calculer la puissance moyenne consommée par le capteur de tension avec les valeurs numériques de la question 3.7. Conclusion.

Épreuve/sous-épreuve :

Gain

Phase