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CCINP Mathématiques 1 MP 2005

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Séries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsSéries et familles sommablesEquations différentielles
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Banque
CCINP
Année
2005
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2005MP MathsMaths 2005
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants

PREMIER EXERCICE

Calculer les deux intégrales doubles suivantes :
a. où .
b. où .

DEUXIÈME EXERCICE

Pour entier naturel non nul, on considère l'équation différentielle linéaire
  1. Donner l'espace vectoriel des solutions de l'équation ( ) sur chacun des intervalles et .
  2. Dans le cas où , déterminer uniquement par des considérations graphiques, l'espace vectoriel des solutions de ( ) sur . Quelle est la dimension de cet espace vectoriel?
  3. Dans le cas où , déterminer avec soin l'espace vectoriel des solutions de ( ) sur . Quelle est la dimension de cet espace vectoriel ?

PROBLÈME : Autour du théorème d'ABEL pour les séries entières

Dans tout le problème :

est une suite de nombres réels telle que la série entière de la variable réelle ait pour rayon de convergence 1 .
On désigne alors par la série de terme général et par la fonction définie sur l'intervalle par : .
On désigne par et les deux propriétés suivantes possibles de la suite :
: la série converge.
: la fonction admet une limite finie, notée , lorsque tend vers 1 par valeurs inférieures.

I. GÉNÉRALITÉS

  1. En utilisant des développements en série entière «usuels», donner dans chaque cas, un exemple de suite telle que :
    a. vérifie et ;
    b. ne vérifie pas et vérifie ;
    c. ne vérifie ni ni ;
    d. La série ne converge pas uniformément sur l'intervalle (justifier).
  2. On suppose que la série est absolument convergente ; montrer alors que la fonction admet une limite finie lorsque tend vers 1 par valeurs inférieures et que .
  3. Exemple
Déduire de la question précédente la somme de la série
(on pourra utiliser une décomposition en éléments simples).

II. THÉORÈME D'ABEL

  1. On suppose dans cette question que la série converge.
On va montrer qu'alors la fonction admet une limite finie lorsque tend vers 1 par valeurs inférieures (théorème d'Abel).
On pose et pour tout .
a. Simplifier, pour tout .
b. En déduire que, pour tout .
c. Soit un réel , justifier qu'il existe un entier tel que pour tout entier et tout entier naturel on ait , puis que :
pour tout entier et pour tout réel .
d. Conclure que la fonction admet une limite lorsque tend vers 1 par valeurs inférieures et que .
5. Que peut-on dire de la série si ?
6. Exemple
Retrouver le développement en série entière en 0 de la fonction puis utiliser le théorème d'Abel pour écrire comme somme d'une série numérique.
7. Application
On rappelle que le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est une série absolument convergente.
a. Le produit de Cauchy de deux séries convergentes est-elle une série convergente ?
(On pourra examiner le cas pour ).
b. Soit deux séries de nombres réels, on pose pour entier naturel, et on suppose que les trois séries et convergent. Montrer, à l'aide du théorème d'Abel, qu'alors .

III. RÉCIPROQUE DU THÉORÈME D'ABEL

  1. Justifier que la réciproque du théorème d'Abel est fausse.
On cherche à rajouter une condition à la condition de telle sorte que si vérifie et , alors elle vérifie .
9. On prend pour ( ) la propriété : pour tout entier .
Montrer que si vérifie les propriétés et , alors elle vérifie la propriété (on pourra montrer que ).
Si on prend pour la propriété :
la suite ( ) vérifie (la suite ( ) est dominée par la suite ( ) au voisinage de ,
on obtient le théorème de Littlewood dont on admettra la démonstration pour l'appliquer dans la partie suivante.

IV. SÉRIES HARMONIQUES TRANSFORMÉES

Désormais, on admet et on pourra utiliser le théorème de Littlewood :
si la fonction admet une limite finie lorsque tend vers 1 par valeurs inférieures et que alors la série converge.
Pour entier naturel non nul, on considère une suite périodique de période formée d'éléments de l'ensemble .
10. Donner, en justifiant leur valeur, les rayons de convergence des séries entières et .
On pose, pour et .
11. Établir que la série converge si et seulement si la fonction admet une limite finie lorsque tend vers 1 par valeurs inférieures.
12. Montrer que est une fraction rationnelle à déterminer.
13. Retrouver, uniquement par les deux questions précédentes, que la série harmonique diverge et que la série alternée converge en précisant sa somme.
14. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur la somme pour que la série converge.
Que peut-on en conclure dans les cas où la période est un entier impair?
15. Exemple
Dans le cas où la suite est périodique de période 6 avec , déterminer
(il est demandé de détailler les calculs).
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