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CCINP Mathématiques 1 MP 2011

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Intégrales généraliséesAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries entières (et Fourier)Intégrales à paramètres
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CCINP
Année
2011
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2011MP MathsMaths 2011
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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème indépendants.

Exercice 1

On considère la série de fonctions .
  1. Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.
  2. On note la fonction somme de la série . Déterminer sur .
  3. Démontrer que admet une limite lorsque tend vers 1 par valeurs strictement inférieures et déterminer cette limite.

Exercice 2

On considère l'équation différentielle .
  1. Résoudre ( ) sur .
  2. Déterminer l'ensemble des solutions de ( ) sur l'intervalle .

Problème

Autour de la transformation de Laplace

Dans tout ce problème, on note :
  • l'ensemble des applications de dans ;
  • l'ensemble des fonctions , continues, telles que, pour tout réel, la fonction soit intégrable sur ;
  • l'ensemble des fonctions continues et bornées sur .
Pour tout dans , on appelle transformée de Laplace de et on note la fonction définie pour tout réel par :

1. Question préliminaire

Soient et une fonction continue par morceaux. Pour tout dans , on pose :
On considère les propositions suivantes :
(i) est intégrable sur ;
(ii) admet une limite finie en .
Donner, sans démonstration, toutes les implications possibles entre (i) et (ii) lorsque :
(a) est positive sur ;
(b) n'est pas positive sur .

Partie I : Exemples et propriétés

  1. (a) Démontrer que est un sous-espace vectoriel de .
    (b) Démontrer que est un sous-espace vectoriel de .
    (c) Justifier que est une application linéaire de dans , espace vectoriel des applications de dans .
  2. (a) On considère la fonction définie par . Déterminer .
    (b) Soit réel. On considère la fonction définie pour tout réel par:
Démontrer que est dans et déterminer .
4. Soient dans et dans . On considère de dans .
Pour , justifier de l'existence de tel que pour tout .
En déduire que est un élément de .

5. Transformée de Laplace d'une dérivée

Soit dans de classe , croissante et bornée sur . Démontrer que est encore dans et que l'on a:

6. Régularité d'une transformée de Laplace

(a) Démontrer que pour tout dans , la fonction est de classe sur et que l'on a où a été définie à la question 4 .
(b) Démontrer que pour tout dans , la fonction est de classe sur et pour et , déterminer à l'aide d'une transformée de Laplace.

Partie II : Comportements asymptotiques de la transformée de Laplace

Dans toute cette partie, est un élément de .
7. On suppose dans cette question que est dans .
(a) Déterminer la limite en de .
(b) Théorème de la valeur initiale
On suppose, de plus, que est de classe et croissante sur , avec bornée sur .
Démontrer que .

8. Théorème de la valeur finale

On suppose dans cette question que où est un réel. Soit une suite de réels strictement positifs qui converge vers 0 .
(a) Démontrer que appartient à .
(b) Soit un entier naturel. Démontrer que où est la fonction définie sur .
(c) En déduire, à l'aide du théorème de convergence dominée, que .
(d) Lorsque , déterminer un équivalent de en 0 .
9. Dans cette question, on suppose que est intégrable sur et on pose pour tout dans .
(a) Démontrer que est une fonction de classe sur et déterminer . En déduire que, pour tout réel, on a : .
(b) On fixe .
Justifier de l'existence de réel positif tel que pour tout , on ait . En déduire que, pour tout , on a :
(c) Démontrer que se prolonge par continuité en 0 (on précisera la valeur en 0 de ce prolongement).

Partie III : Application

10. Calcul de l'intégrale de Dirichlet

Ici est la fonction définie par et pour réel.
(a) Démontrer que la fonction définie par admet une limite réelle en .
(b) En considérant la série où , démontrer que n'est pas intégrable sur .
(c) Soit . Démontrer, en détaillant les calculs, que pour tout on a :
Démontrer que la fonction est intégrable sur .
Déterminer alors .
(d) Déterminer, pour , une expression simple de et en déduire .
Pour cela, on pourra utiliser le résultat suivant (la démarche de la preuve étant identique à celle de la question 9 ) :
é
On notera que, par rapport à la question , on a remplacé l'hypothèse intégrable sur par l'hypothèse .

Fin de l'énoncé

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