CCINP Mathématiques 1 MP 2012

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de trois exercices et d'un problème, tous indépendants.

On note l'espace vectoriel des applications de classe définies sur l'intervalle et à valeurs dans .

(a) Démontrer que définit une norme sur .

De même, est une norme sur , il est inutile de le démontrer.
(b) i. Donner la définition de deux normes équivalentes.
ii. Démontrer que les deux normes et sont équivalentes sur .
2. Toutes les normes sur sont-elles équivalentes à la norme ?

Démontrer que la fonction est continue sur .
3. On pose, pour tout .

Calculer pour tout .
La fonction est-elle continue sur ?
Que peut-on en conclure concernant l'hypothèse de domination?

Calculer l'intégrale curviligne le long du cercle de centre 0 et de rayon 1 , orienté dans le sens direct.

Dans tout le problème, est une série de fonctions définies sur un intervalle de et à valeurs réelles.

Une série de fonctions converge absolument sur lorsque, pour tout , la série converge. Dans les deux premières questions on supposera, pour simplifier les démonstrations, que toutes les fonctions sont bornées sur .

Démontrer que la série de fonctions converge simplement puis converge uniformément sur mais ne converge absolument en aucune valeur de .
4. Si la série de fonctions converge absolument sur , a-t-on nécessairement qui converge uniformément sur ?
On attend une réponse détaillée et on pourra utiliser une série entière.

Dans toute cette partie, est une suite décroissante de réels positifs, et pour tout .
5. Justifier que la suite est bornée et que la série de fonctions converge simplement sur .
6. (a) Calculer pour .
(b) Démontrer que la série de fonctions converge normalement sur si et seulement si la série de réels positifs converge.
7. (a) Calculer pour tout .
(b) Si on suppose que la suite converge vers 0 , démontrer que la série de fonctions converge uniformément sur .
On pourra observer que pour .
(c) Réciproquement, démontrer que si la série de fonctions converge uniformément sur , alors la suite converge vers 0 .
8. Dans chacun des cas suivants, donner, en détaillant, un exemple de suite décroissante de réels positifs telle que :
(a) La série de fonctions converge normalement sur .
(b) La série de fonctions ne converge pas uniformément sur .
(c) La série de fonctions converge uniformément sur mais ne converge pas normalement sur .
9. Résumer à l'aide d'un schéma toutes les implications possibles, pour une série de fonctions quelconque, entre les convergences : normale, uniforme, absolue et simple sur .