CCINP Mathématiques 1 MP 2014

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

I.1. On note , calculer l'intégrale double .

et étant deux fonctions continues sur , on note l'équation différentielle

On note l'espace vectoriel des solutions de ( ) sur l'intervalle et l'espace vectoriel des solutions de ( ) sur l'intervalle [ .
L'objectif de cet exercice est d'étudier la dimension de l'espace vectoriel des fonctions de classe sur vérifiant ( ) sur tout entier.
II.1. Donner la dimension des espaces vectoriels et .
II.2. On note l'application linéaire de vers définie par où désigne la restriction de la fonction à l'intervalle et désigne la restriction de la fonction à l'intervalle .
Donner le noyau de l'application et en déduire que .
II.3. Dans cette question, on considère et , d'où

Déterminer et .
Déterminer ensuite et donner sans détails la dimension de .
II.4. Dans cette question .

Déterminer deux solutions sur de cette équation de la forme ( réel).
En déduire puis .
Déterminer et donner la dimension de .
II.5. Donner un exemple d'équation différentielle du type tel que (on détaillera).
On pourra, par exemple, s'inspirer de la question précédente.

III.1. On considère une suite de réels ( ), une suite de complexes ( ) et on note pour tout entier naturel : et .
En remarquant que, pour , démontrer que, pour tout entier naturel non nul,
(transformation d'Abel).
III.2. On suppose que la suite ( ) est bornée et que la suite ( ) est décroissante de limite nulle.
III.2.a Démontrer que la série converge.
III.2.b En déduire que la série converge.
III.2.c En appliquant le résultat précédent au cas où , donner une démonstration du théorème des séries alternées, après l'avoir énoncé.
III.3 Exemple.

Dans cette question, est un réel différent de et .
III.3.a Calculer pour entier naturel non nul, .
III.3.b Discuter en fonction du réel la nature de la série .
III.4. Soit la série de fonctions où pour réel et entier naturel non nul, .

Démontrer que cette série de fonctions converge simplement en tout point de .
On pourra utiliser sans démonstration le fait qu'une série de complexes converge si et seulement si, les deux séries ayant pour termes généraux les parties réelles et parties imaginaires (c'est-à-dire et ) convergent.

On notera sa fonction somme : pour tout réel .

III.5. On considère une suite de réels et une suite de fonctions définies sur une partie de et à valeurs dans .
On pose, pour tout et pour tout entier naturel .
On suppose que la suite ( ) est décroissante de limite nulle et qu'il existe , tel que pour tout et tout (on dit que la suite est uniformément bornée).
III.5.a Démontrer que la suite converge uniformément sur et que la série de fonctions converge normalement sur .
III.5.b A l'aide d'une transformation d'Abel, en déduire que la série de fonctions converge uniformément sur .

Pour réel et entier naturel non nul, .
III.6.a Démontrer que pour .

Démontrer que la série de fonctions converge uniformément sur tout intervalle où .
En déduire que la fonction est continue sur l'intervalle .
III.6.b Pour entier naturel, on considère la série de fonctions où pour réel et entier naturel non nul, .
Démontrer que, pour tout entier naturel , la série de fonctions converge uniformément sur l'intervalle .
On pourra, par exemple, utiliser sans démonstration, que :

III.6.c On se propose dans cette question de démontrer que la fonction n'est pas continue par morceaux sur .
Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant que la fonction est continue par morceaux sur .
i. Déterminer alors les coefficients de Fourier de la fonction .

On pourra utiliser pour et entiers naturels non nuls :

ii. En utilisant la formule de Parseval, aboutir à une contradiction.

III.7. Si est une série entière de la variable complexe de rayon , rappeler le résultat du cours concernant la convergence uniforme de cette série.
III.8. On considère la série entière de la variable complexe de rayon 1 .
III.8.a On note .

Démontrer que la série entière de la variable réelle ne converge pas uniformément sur (en particulier la série ne converge pas uniformément sur .
III.8.b On pourra confondre un point de et son affixe.

Pour , on note l'ensemble des complexes , tels que et dont la partie réelle vérifie .
Représenter géométriquement l'ensemble dans un repère orthonormé du plan.
III.8.c Démontrer que est une partie fermée de .

On pourra écrire :

et démontrer que est une partie fermée de .
En déduire que est une partie compacte de .
III.8.d On note pour et entier naturel, .

Démontrer que pour tout et tout entier naturel , si :

III.8.e Démontrer que la série entière converge uniformément sur tous les compacts