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CCINP Mathématiques 1 MP 2018

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommables
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CCINP
Année
2018
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2018MP MathsMaths 2018
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Lundi 30 avril :
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé d'un problème avec quatre parties.

ESTIMATIONS NUMÉRIQUES D'INTÉGRALES

Objectifs

Le fil conducteur de ce sujet est le calcul approché d'intégrales.
La partie I est indépendante des autres parties. À travers l'exemple de l'intégrale de Gauss, on utilise des suites de fonctions et on «permute limite et intégrale».
Les parties II et III peuvent être traitées de manière indépendante. La partie IV utilise des résultats des parties II et III.
Les parties II, III et IV traitent de l'utilisation des polynômes interpolateurs pour le calcul approché d'intégrales : on présente le principe des méthodes de quadrature, dites de Newton-Cotes, ainsi qu'un raffinement avec la méthode de quadrature de Gauss.
Le sujet comporte aussi quelques questions notées Informatique portant sur le programme «informatique pour tous». Les algorithmes demandés doivent être écrits en langage Python.

Notations

  • Si est une fonction réelle bornée sur avec , on pose :
  • On note l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à . On pourra confondre les expressions «polynômes » et «fonctions polynomiales».

Partie I - «Permutation limite-intégrale » et intégrale de Gauss

On considère l'intégrale de Gauss :

I. 1 - Utilisation d'une série entière

Q1. Démontrer à l'aide d'une série entière que :
On pose pour :
Q2. Justifier que pour tout , on a :
Q3. Informatique : écrire une fonction récursive factorielle qui prend en argument un entier naturel et renvoie l'entier .
Q4. Informatique : en déduire un script, qui détermine un entier , tel que .

I. 2 - Utilisation d'une autre suite de fonctions

Pour tout , on définit sur la fonction par :
Q5. Déterminer, en détaillant, la limite simple de la suite de fonctions .
Q6. Soit . Démontrer que . En déduire que :

Partie II - Notion de polynôme interpolateur

Soit une fonction continue. On se donne points dans , deux à deux distincts.
On appelle polynôme interpolateur de aux points , un polynôme qui coïncide avec aux points , c'est-à-dire tel que pour tout .

II. 1 - Existence du polynôme interpolateur

Pour tout entier de , on définit le polynôme de par :
On pose :
Q7. Démontrer que est un polynôme interpolateur de aux points , puis démontrer l'unicité d'un tel polynôme.
Un tel polynôme est appelé polynôme interpolateur de Lagrange.

II. 2 - Calcul effectif du polynôme interpolateur de Lagrange

Q8. Informatique : si sont des réels, le polynôme est l'unique polynôme de vérifiant pour tout . Écrire en langage Python une fonction lagrange qui prend en arguments une liste de points d'interpolations une liste d'ordonnées de même longueur que un réel, et qui renvoie la valeur de en .
Par exemple, si et , on montre que et donc . Ainsi, lagrange renverra 36.
Q9. Informatique : chercher le polynôme interpolateur de aux points revient aussi à résoudre le système linéaire suivant d'inconnues :
où est une matrice carrée de taille .
Déterminer la matrice et indiquer la complexité du calcul en fonction de , lorsque l'on résout ce système linéaire par la méthode du pivot de Gauss.

II. 3 - Expression de l'erreur d'interpolation

On suppose, en plus dans cette partie, que est de classe sur . On rappelle que est son unique polynôme interpolateur aux points .
On note l'ensemble des points d'interpolations et le polynôme de défini par:
On veut démontrer pour tout réel , la propriété suivante notée :
Q10. Résultat préliminaire : soit . Démontrer que si est une fonction -fois dérivable qui s'annule fois, alors il existe tel que .
Q11. Justifier que pour tout , la propriété est vraie.
On fixe un réel de qui n'est pas dans . Soit un réel. On définit sur une application par:
Q12. Déterminer un réel de sorte que . On choisira alors de cette façon.
Q13. Démontrer que s'annule fois et en déduire que est vraie.
Q14. Justifier que la fonction est bornée sur et en déduire un réel positif indépendant de tel que :
Q15. En déduire que si est la fonction sinus, la suite converge uniformément vers sur .
Q16. On définit sur par . Démontrer à l'aide d'une série entière que :
Cette dernière inégalité montre que la quantité peut être grande et cela peut empêcher parfois la convergence de la suite de polynômes interpolateurs. Ceci est appelé le phénomène de Runge.

Partie III - Famille de polynômes orthogonaux

On munit l'espace des polynômes à coefficients réels du produit scalaire défini par : pour tout polynôme et de :
On applique le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base canonique ( ) de . On obtient donc une famille orthonormée de polynômes ( ) vérifiant :
Le polynôme s'appelle le polynôme de Legendre d'indice .
Q17. Calculer et .
Q18. Justifier que pour , le polynôme est orthogonal à . Démontrer que le polynôme est de degré .
On prend . On veut démontrer que admet racines simples dans .
Q19. Justifier que et en déduire que admet au moins une racine dans .
Supposons par l'absurde que admet strictement moins de racines simples. Si admet des racines de multiplicité impaire avec , on pose ; sinon, on pose . On considère enfin le polynôme .
Q20. Justifier que , puis conclure (on pourra remarquer que est de signe constant sur ).

Partie IV - Méthodes de quadrature

Dans cette partie, nous allons voir comment les polynômes interpolateurs de Lagrange peuvent être utilisés pour estimer pour une fonction continue.
Pour cela, on choisit d'abord une subdivision de l'intervalle . À cause du phénomène de Runge, si est grand, le polynôme interpolateur de aux points n'est pas forcément une bonne approximation de . Approximer par 'est donc pas forcément pertinent...
Nous allons en fait approximer par un polynôme d'interpolation sur chaque petit intervalle [ ].
D'après la relation de Chasles, on a :
Q21. Justifier que :
On est donc ramené à estimer où est une fonction continue.
On se donne points dans , deux à deux distincts.
On rappelle que est le polynôme interpolateur de aux points et on pose :
Lorsqu'on approxime par , c'est-à-dire :
on dit que est une méthode de quadrature associée aux points et aux poids .
Q22. Justifier que pour tout polynôme , on a .
On dit que la méthode de quadrature est d'ordre au moins car la formule approchée est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à .
Q23. Exemple : on prend et . Déterminer et . Expliquer à l'aide d'un graphique en prenant positive pourquoi, dans ce cas, la méthode s'appelle la «méthode des trapèzes ».

Quadrature de Gauss

Dans les deux questions suivantes, on prend pour points d'interpolation les ( ) racines du polynôme de Legendre introduit dans la partie III.
Nous allons démontrer que, dans ce cas, la formule de quadrature est d'ordre au moins .
Soit . On fait la division euclidienne de par , on note respectivement le quotient et le reste de cette division :
Q24. Démontrer que , puis conclure que .
Q25. Démontrer que les poids associés à la quadrature de Gauss sont strictement positifs et calculer leur somme.

FIN

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