CCINP Mathématiques 1 MP 2019

Lundi 29 avril :
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

On admet que et on pose, pour .

Q1. Justifier que la fonction est intégrable sur puis, à l'aide d'un théorème d'intégration terme à terme, calculer l'intégrale .

Si est une variable aléatoire à valeurs dans de loi de probabilité donnée par : , , la fonction génératrice de est .

Q2. Démontrer que l'intervalle est inclus dans l'ensemble de définition de la fonction .

Soient et deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans .
On pose , démontrer que pour tout par deux méthodes : l'une utilisant le produit de Cauchy de deux séries entières et l'autre utilisant uniquement la définition : .

On généralise ce résultat, que l'on pourra utiliser dans la question suivante, à variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans (on ne demande pas de preuve de cette récurrence).

Q3. Un sac contient quatre boules : une boule numérotée 0 , deux boules numérotées 1 et une boule numérotée 2.
On effectue tirages d'une boule avec remise et on note la somme des numéros tirés. Déterminer pour tout et en déduire la loi de .

Dans ce sujet une série de fonctions est une série de fonctions où est une suite de réels telle que la série entière soit de rayon 1.

Soit une série de fonctions .
Q4. Si , donner un équivalent de pour au voisinage de .
Démontrer que pour tout , la série converge absolument.
Remarque : la série peut parfois converger en dehors de l'intervalle . Donner un exemple de suite telle que la série converge en au moins un n'appartenant pas à l'intervalle .

Q5. Démontrer que la série de fonctions converge uniformément sur tout segment inclus dans l'intervalle .

Q6. On pose, pour tout .
Justifier que la fonction est continue sur l'intervalle et démontrer ensuite que la fonction est de classe sur l'intervalle . Donner la valeur de .

Q7. Expression sous forme de série entière
On note .
Lorsque est une famille sommable de réels, justifier que
, où .
Démontrer que pour tout , la famille est sommable.
En déduire que pour tout où
( signifiant divise ).

Q8．Dans cette question，pour et on note le nombre de diviseurs de ．Exprimer， pour tout comme la somme d＇une série entière．

Q9．Dans cette question，pour où est le nombre d＇entiers naturels premiers avec et inférieurs à ．

Justifier que la série entière est de rayon 1.
On admet que pour ．Vérifier ce résultat pour ．
Pour ，exprimer sous la forme d＇un quotient de deux polynômes．
Q10．En utilisant le théorème de la double limite，établir à l＇aide du développement en série entière de la fonction sur l＇intervalle ，la valeur de la somme ．

Q11．Dans cette question et la suivante，pour et pour tout ， .
En utilisant le théorème de la double limite，calculer et donner un équivalent de au voisinage de 0 ．Retrouver le dernier résultat de la question ．

Q12．Démontrer qu＇au voisinage de ．
On pourra remarquer que pour ．