CCINP Mathématiques 1 MP 2022

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème dont les parties sont largement indépendantes.

M. Toutlemonde habite dans un immeuble dont la porte d'entrée est sécurisée par un code à 4 chiffres dont chacun est compris entre 0 et 9 . Malheureusement, il se trouve devant cette porte et il en a oublié le code.

Q1. Déterminer la fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre puis en déduire son espérance.

Q2. En essayant un code au hasard, quelle est la probabilité de tomber sur le bon code ?
Q3. M. Toutlemonde décide de trouver le bon code en procédant de la manière suivante : il essaye un code au hasard choisi par les codes non encore testés. On note la variable aléatoire égale au nombre de codes testés jusqu'à obtenir le bon code.
Déterminer la loi de et donner son espérance.
Q4. À la place de la stratégie précédente, M. Toutlemonde essaye des codes au hasard, sans se soucier du fait qu'il les ait déjà essayés ou non. On note encore la variable aléatoire égale au nombre de codes testés jusqu'à obtenir le bon code.
Déterminer la loi de et donner son espérance.
Q5. Informatique Pour Tous.
Compléter, en langage Python, le script suivant pour qu'il simule une personne essayant de deviner le code 4714 :

code=4714
n=int(input('Taper un code à 4 chiffres : '))
k=
while

print('Vous avez trouvé le code en '+str(k)+' essais.')

représente une instruction ou une partie d'instruction à compléter.)

Pour ne plus oublier le code, M. Toutlemonde décide de l'écrire sur un papier qu'il garde dans sa poche. Pour ne pas se faire dérober le code il le crypte de la manière suivante : il remplace chacun des 4 chiffres par lui-même additionné de 5 et réduit modulo 10. Par exemple, le code 4714 est crypté 9269.

Q6. Informatique Pour Tous.
Écrire, en langage Python, une fonction crypte(m) qui reçoit en entrée une liste de 4 chiffres et renvoie en sortie la version cryptée de cette liste. Par exemple, crypte([4, 7, 1, 4]) renvoie [9, 2, 6, 9].

Dans ce problème, on étudie certaines intégrales et séries numériques reliées aux intégrales dites de Fresnel. Augustin Fresnel (1788-1827) démontra le caractère ondulatoire de la lumière et, pour cette raison, il est considéré comme un des fondateurs de l'optique moderne.

Dans cette partie, on définit la fonction par l'expression , où signifie .

Q7. Démontrer que est définie et de classe sur . Donner une expression de .
Q8. Étudier la parité de la fonction .
Q9. Démontrer que la fonction est développable en série entière au voisinage de 0 . En déduire un développement en série entière de la fonction au voisinage de 0 , en précisant l'intervalle sur lequel ce développement est valable.

Q10. Si , démontrer que:

Q11. Pour , en déduire que:

Q12. En déduire que l'intégrale généralisée converge.
Q13. Informatique Pour Tous.
Proposer, en langage Python, une fonction qui prend en entrée une fonction à valeurs réelles ou complexes, deux réels et et un entier naturel et qui renvoie une valeur approchée avec la méthode des rectangles de calculée avec rectangles.

Q14. Informatique Pour Tous.
Proposer, en langage Python, une fonction qui prend en entrée un réel et un entier naturel et qui renvoie une valeur approchée de calculée avec la fonction de la question précédente. On rappelle que le code Python, pour .

Dans cette partie, on étudie la fonction d'expression :

Pour cela, on pose .
Q15. Si , déterminer les modules des nombres complexes et .

Q16. Démontrer que est définie et continue sur (on pourra utiliser un argument de parité).
Q17. Soit une suite divergente vers . À l'aide du théorème de convergence dominée, démontrer que . En déduire la limite de en et en .

Q18. Démontrer que est de classe sur .

Q19. On admet dans cette question que l'intégrale converge et est égale à .
Vérifier que :

Q20. Décomposer dans la fraction rationnelle .
On admet ensuite que :
.

Démontrer que . Donner la valeur de puis déterminer la valeur de .

Q21. En déduire que:

où la fonction a été introduite dans la partie .
Donner ensuite les valeurs de , de et de .

Dans cette partie, on étudie la fonction d'expression :

Pour tout entier naturel non nul, on note la fonction d'expression .
Q22. On suppose que est une suite réelle positive décroissante de limite nulle et que est une suite bornée. En admettant l'identité suivante:

démontrer que la série converge.
Q23. Soient et . Démontrer que :

Q24. À l'aide des deux questions précédentes, démontrer que est définie sur .
Q25. On admet dans cette question que si et :

Démontrer qu'il existe une constante telle que pour tout :

Q26. Déterminer la limite, quand tend vers , de :

Q27. Déterminer la limite en de la fonction . Donner alors un équivalent de quand tend vers .