N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème.

EXERCICE I

Dans tout l'exercice, n est un entier naturel non nul.
Pour toute matrice

, on note :

Q1. Démontrer que

est une norme sur

.
On munit l'espace

de la norme

définie, pour tout

, par :

On note

la sphère unité définie par :

Q2. Démontrer que

.
En déduire, pour toute matrice

, l'existence de

.
On pose alors, pour toute matrice

Q3. Démontrer que

.
Q4. Démontrer que

.
Q5. Application. On considère la matrice

. Calculer

EXERCICE II

On définit la fonction

sur

Q6. Établir que l'équation

admet une unique solution sur

.
Q7. Démontrer que

possède un unique point critique

Q8. À l'aide de la matrice hessienne, démontrer que

admet un extremum local en

. Est-ce un minimum ou un maximum ?

PROBLÈME

Dans tout le problème,

est un réel appartenant à l'intervalle

. On pose :

Partie I - Calcul d'une intégrale à l'aide d'une série

Q9. Démontrer que

est intégrable sur

et sur

.
Q10. Démontrer que

On se propose maintenant d'écrire

sous forme d'une somme de série.
Q11.

tentative
Pour tout

, on pose

. Montrer que:

La série de fonctions

converge-t-elle uniformément sur

Q12.

tentative
Pour tout

, on pose :

À l'aide du théorème de convergence dominée, montrer que :

En déduire une expression de

sous forme d'une somme de série.

Q13. En déduire que:

On admet la formule suivante :

Q14. Démontrer que:

Partie II - Lien avec la fonction Gamma

Dans toute la suite, on pose:

Q15. Démontrer que

est bien définie sur

.
Q16. Démontrer que

est bien définie et continue sur

Q17. Démontrer que

est de classe

sur

et calculer sa dérivée.
Q18. Déterminer

.
Q19. Démontrer que

est intégrable sur

. En déduire:

Partie III - Vers la formule des compléments

Q20. Pour tout

, démontrer que :

Q21. Pour tout

, on pose :

Vérifier que

est une solution particulière de l'équation différentielle

. En déduire que

Q22. En déduire que:

Q23. Démontrer l'identité suivante (formule des compléments) :

Q24. En déduire la valeur de l'intégrale de Gauss: