Soit et des entiers supérieurs ou égaux à désigne le -espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant lignes et colonnes. On identifiera et respectivement à et que l'on supposera munis de leurs produits scalaires canoniques notés respectivement et . Les normes associées à ces produits scalaires seront notées respectivement et .

On notera la base canonique de et celle de .
Lorsque est noté plus simplement et est muni de sa structure d'algèbre, représentant la matrice identité.
désigne la matrice nulle de et la matrice nulle de .
Pour appartenant à désigne la matrice transposée de : c'est un élément de .
est le noyau de défini par

est l'image de définie par

Enfin, on adopte la notation pour désigner l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien.

Soit .
I.1. Montrer que est nulle si et seulement si est nulle.

Dans toute la suite du problème sera supposée non nulle.
I.2. Montrer que les matrices et sont diagonalisables au moyen de matrices orthogonales.
I.1.a) désignant deux éléments de , exprimer le produit scalaire sous la forme d'un produit matriciel.
b) Si est un vecteur propre de associé à la valeur propre , exprimer en fonction de et .
c) En déduire que les valeurs propres de sont réelles, positives ou nulles.
I.4.a) Pour réel, calculer les produits matriciels par bloc suivants :

b) En déduire que les matrices et ont les mêmes valeurs propres non nulles avec le même ordre de multiplicité.
c) En déduire également que les matrices et ont même rang.
I.5. Montrer que si est valeur propre de et que si est valeur propre de .
I.6. On note les valeurs propres de , chaque valeur propre apparaissant dans cette liste un nombre de fois égal à son ordre de multiplicité et on pose pour tout élément de .

Les réels sont appelés valeurs singulières de .
On suppose les réels ordonnés tels que .
a) Montrer que est non nul.

On définit alors un unique entier naturel appartenant à comme suit : si toutes les valeurs propres de sont non nulles, , sinon est tel que pour tout , et pour tout .

Soit ( ) une base orthonormale de vecteurs propres de respectivement associés aux valeurs propres désignent les vecteurs propres associés aux valeurs propres non nulles et lorsque est strictement inférieur à désignent les vecteurs propres associés à la valeur propre 0 .
b) Montrer que et que la dimension de est égale à .

Pour tout , on pose et si , on désigne par ( ) une base orthonormale de .
c) Montrer que pour tout et que si est strictement inférieur à , pour tout .
d) Montrer que pour tout .
e) Montrer que si , pour tout .
f) En déduire que le système de vecteurs ( ) constitue une base orthonormale de vecteurs propres de et préciser la valeur propre associée à chaque vecteur .
I.7. On note la matrice carrée réelle d'ordre dont le ième vecteur colonne est le vecteur la matrice carrée réelle d'ordre dont le vecteur colonne est le vecteur et l'élément de la ligne, jème colonne de la matrice .
a) Montrer que :

b) On note la matrice appartenant à dont tous les éléments sont nuls sauf respectivement égaux à . Montrer que .

La factorisation de ainsi obtenue est dite décomposition de en valeurs singulières.
c) Trouver une décomposition en valeurs singulières de chacune des matrices :

I.8. Montrer que le rang de est égal à .
I.9.a) Montrer que .
b) En déduire :

c) Déterminer les sous-espaces vectoriels suivants : .
d) Montrer que et .

Avec les notations de la partie , pour admettant une décomposition en valeurs singulières , on appelle la matrice de dont tpus les éléments sont nuls sauf respectivement égaux à et on pose .
(resp. ) est appelée pseudo-inverse de (resp. de A). A priori, la matrice ainsi définie dépend de la décomposition en valeurs singulières choisie pour la matrice , mais il sera montré à la question II. 9 qu'il n'en est rien et que est uniquement déterminée à partir de .
II.1. Déterminer les matrices et .
II.2. Déterminer .
II.,. 3 Evaluer et .
II.4. Montrer que si est une matrice carrée inversible ( ), alors .
II.5. Montrer que :

II.6.a) Evaluer pour tout et en déduire que est la matrice dans la base canonique de de la projection orthogonale de sur .
b) Montrer de même que est la matrice dans la base canonique de de la projection orthogonale de sur .
II.7. Etablir les identités suivantes :

II.8. Etablir les résultats suivants :
i) .
ii) .
II.9. Soit une matrice de vérifiant :

a) Montrer que vérifie les identités suivantes :
i)
ii)
iii)
b) En déduire que , autrement dit que est l'unique matrice de vérifiant les relations (1).
II.10. Montrer que et .
II.11. Evaluer et . A-t-on l'égalité?
II.12. Soit et . On note la distance de au sousespace vectoriel .
a) Montrer que pour tout et sont orthogonaux et en déduire :

Que vaut alors ?
b) Montrer que s'il existe tel que avec , alors .
c) Si , déterminer .