CCINP Mathématiques 1 PC 2003

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Soit et des entiers supérieurs ou égaux à 1 . On note le -espace vectoriel des matrices à coefficients dans ayant lignes et colonnes. Lorsque est noté plus simplement et est muni de sa structure d'algèbre, représentant la matrice identité.
désigne l'ensemble des matrices inversibles de et l'ensemble des matrices symétriques de .

Tout vecteur de est identifié à un élément de tel que l'élément de la ligne de soit . Dans toute la suite, nous noterons indifféremment un élément de aussi bien que le vecteur de qui lui est associé.

Pour dans et dans , on note le coefficient de

la ligne de .
Selon le contexte, 0 désigne soit le réel nul, soit la matrice nulle de , soit encore la matrice nulle de .
est muni de son produit scalaire canonique noté et de la norme associée notée .
Une matrice symétrique de est dite positive si et seulement si :

et définie positive si et seulement si :

On note l'ensemble des matrices symétriques réelles positives et l'ensemble des matrices symétriques réelles définies positives.

I. 1 Soit et . Etablir les égalités :
a) .
b) .
c) .
I. 2 Démontrer les propriétés suivantes :
a) .
b) .
c) .
I. 3 a) Soit vérifiant : . Montrer que toute valeur propre de est nulle et en déduire .
b) Donner un exemple de matrice carrée d'ordre 3, non nulle et vérifiant :

I. 4 a) Soit . Montrer que appartient à si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives.
b) Que peut-on dire d'une matrice symétrique réelle semblable à une matrice symétrique réelle positive?
I. 5 On munit des relations notées et , définies respectivement par :

et

a) Montrer que la relation est une relation d'ordre sur .
b) Montrer que pour , cet ordre n'est pas total sur .
c) La relation > est-elle une relation d'ordre?
d) Trouver un exemple dans montrant que et n'implique pas nécessairement .
I. 6 Soit et deux endomorphismes de diagonalisables et vérifiant .
a) Démontrer que tout sous-espace propre de est stable par .
b) Soit les valeurs propres distinctes de et les sousespaces propres de respectivement associés. Pour tout , on note l'endomorphisme de induit par . Montrer que pour tout il existe une base de formée de vecteurs propres de . En déduire qu'il existe une base de telle que les matrices de et dans cette base soient toutes deux diagonales.
I. 7 a) Soit et deux matrices diagonalisables de . Montrer que les matrices et commutent si et seulement si elles sont diagonalisables au moyen d'une même matrice de passage.
b) On donne les matrices et suivantes :

Montrer que et sont diagonalisables au moyen d'une même matrice de passage et déterminer explicitement une telle matrice de passage.
I. 8 Soit tel que . Montrer que .
I. 9 a) Soit tel que . Montrer que :

b) Montrer que les matrices et vérifient . Vérifient-elles ?

On se propose dans cette partie de caractériser de diverses manières la définie positivité d'une matrice symétrique réelle.
II. 1 Soit . Montrer que les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
a) est définie positive.
b) Toutes les valeurs propres de sont strictement positives.
c) Il existe telle que .
d) est positive et inversible.
II. 2 Soit et les matrices de données par :

a) Montrer que pour tout vecteur de :

b) En déduire que est définie positive.
c) En cherchant une matrice de la forme :

déterminer explicitement une matrice inversible telle que .
II. 3 Soit et telles que . On note la famille des vecteurs colonnes de . Pour et , on note la projection orthogonale de sur .
a) Justifier que est une base de .
b) On définit la famille de vecteurs par les relations:

Montrer que la famille est orthogonale et que c'est une base de .
c) Soit la famille de vecteurs définie par pour tout . est alors une base orthonormale de . Montrer que la matrice de passage de la base à la base est triangulaire supérieure.
d) Soit la matrice de passage de la base canonique de à la la base . Montrer que peut s'écrire sous la forme où est une matrice triangulaire supérieure inversible et qu'alors .
e) Montrer que la matrice admet une décomposition de la forme où est une matrice triangulaire supérieure inversible et en déduire que est symétrique définie positive.
II. 4 a) Soit . Déterminer tel que .
b) Soit . Montrer que est définie positive si et seulement si ( et ) ce qui équivaut encore à ( et ).
c) Soit . On décompose sous la forme

En écrivant sous la forme , montrer que pour :

et en déduire que est définie positive si et seulement si ( et est définie positive).
d) En gardant les notations de la question II. 4 c) précédente, on peut alors construire par récurrence une suite de nombres réels et une suite de matrices comme suit. On pose d'abord :

Si , on décompose sous la forme

On pose à nouveau et on itère le processus précédent. On obtient ainsi une suite de matrices symétriques réelles où est d'ordre et une suites de réels liés par les relations :

Le processus s'arrête pour car est alors d'ordre 1 et on note .
Montrer que est définie positive si et seulement si tous les réels de la suite sont strictement positifs.
e) Soit . Selon les notations précédentes, déterminer explicitement les réels associés à cette matrice et en déduire que est définie positive si et seulement si :