CCINP Mathématiques 1 PC 2005

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les objectifs de ce problème sont les suivants :

Soit l'ensemble des entiers naturels, et pour dans . Si est un entier supérieur ou égal à 1 , on note le -espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients dans et le -espace vectoriel des matrices colonnes à lignes à coefficients dans . est la matrice identité dont les coefficients sont donnés par le symbole de Kronecker défini par

Pour appartenant à désigne la matrice transposée de désigne le cofacteur de l'élément et on appelle comatrice de la matrice dont le coefficient de la ligne et de la colonne est . Cette matrice sera notée .

Lorsque les coefficients de sont des fonctions de définies sur un intervalle de , on rappelle que est dérivable sur si et seulement si toutes les fonctions sont dérivables sur et qu'alors :

On pourra utiliser sans le redémontrer que le produit de deux applications et de dans , dérivables sur , est dérivable sur et que :

I. 1 Soit la matrice donnée par :
a) Calculer .
b) Calculer la matrice produit .
c) Déterminer le polynôme caractéristique de .
d) Calculer , puis la matrice .
I. 2 Soit et la matrice déduite de en remplaçant la colonne de par la colonne formée des coefficients .
a) Montrer que .
b) En déduire les égalités : .
c) Montrer de même les égalités : .
d) En déduire les formules :

I. 3 a) Soit une famille de polynômes à coefficients complexes, tous de degré inférieur ou égal à 1 . Pour , on note la matrice de de terme général . Montrer par récurrence sur l'ordre de la matrice qu'il existe un polynôme à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal à tel que pour tout appartenant à , det .
b) Soit et des matrices de telles que pour tout , . Montrer que pour tout dans .
I. 4 Pour tout , on pose et on note le polynôme caractéristique de .
a) Montrer qu'il existe matrices dans telles que :

b) En utilisant les questions I. 2 et I.3, établir les égalités matricielles suivantes:

c) En déduire que le polynôme caractéristique de la matrice est un polynôme annulateur de .

Soit ses valeurs propres dans non nécessairement distinctes. On introduit les matrices suivantes:

II. 1 a) Montrer que commute avec chaque matrice .
b) Montrer que .
II. 2 On rappelle que le problème de Cauchy

admet une unique solution . On notera les composantes de .

On considère alors le nouveau problème de Cauchy suivant :

où la fonction inconnue est une application dérivable de dans .
a) Soit . Montrer que :

En déduire que est solution du problème (1).
b) Montrer que est aussi solution du problème (2) ci-dessous :

c) Soit . Montrer que la fonction est constante égale à . En déduire que pour tout est inversible et donner son inverse.
d) Soit une solution du problème (1) et la fonction de dans définie pour tout réel par . Montrer que la fonction est constante et en déduire que le problème (1) admet pour unique solution.
e) Montrer que est aussi l'unique solution du problème (2).

Désormais, on note pour tout réel : . La matrice est appelée exponentielle de la matrice . Cette notation et cette définition seront justifiées par les diverses propriétés étudiées dans la suite du problème.
II. 3 A l'aide de l'algorithme décrit dans les questions précédentes, déterminer explicitement les coefficients de , où est la matrice donnée à la question I.1.
II. 4 Soit le problème de Cauchy dans donné par :

Montrer que sa solution est donnée par .

III. 1 Montrer que pour tout réel, la matrice est un polynôme en .
III. 2 Soit et deux matrices de telles que .
a) Montrer que pour tout réel, et commutent.
b) Montrer que pour tout réel, et commutent.
c) Montrer que les fonctions

vérifient une même équation différentielle et en déduire .
III. 3 On considère les matrices et .

Calculer et . Quelle conclusion en tirez-vous?
III. 4 Soit dans .
a) Montrer que si est une matrice inversible de , on a pour tout réel :

b) Montrer que pour tout réel : .

On se place désormais dans l'espace vectoriel euclidien orienté muni de son produit scalaire canonique. est la base canonique de et est un vecteur unitaire de . Soit un vecteur de et l'application de dans solution du problème de Cauchy :

IV. 1 Si et sont les matrices colonnes respectives des coordonnées de et dans la base , montrer que le problème (3) s'écrit encore:

où est une matrice que l'on précisera.
IV. 2 Déterminer le polynôme caractéristique de et montrer que .
IV. 3 Montrer que et donner l'expression de la solution du problème (4).
IV. 4 On note et respectivement les endomorphismes de canoniquement associés aux matrices et .
a) Montrer qu'il existe une base orthonormale telle que la matrice de dans cette base soit :

b) Déterminer l'image par de la base , puis caractériser géométriquement l'endomorphisme .
c) Calculer .