CCINP Mathématiques 1 PC 2009

est un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On note le -espace vectoriel des matrices colonnes à lignes à coefficients réels, le -espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre l'ensemble des matrices inversibles de l'ensemble des matrices orthogonales de et l'ensemble des matrices symétriques de . désigne la matrice identité d'ordre et pour toute matrice désigne la transposée de .

Selon le contexte, 0 désigne soit le réel nul, soit la matrice nulle de , soit encore la matrice nulle de .

On rappelle que pour toute matrice symétrique réelle d'ordre , il existe appartenant à et diagonale réelle d'ordre telles que .
est muni de son produit scalaire canonique noté et de la norme associée notée .
Une matrice de est dite positive si :

et définie positive si :

On note l'ensemble des matrices de positives et l'ensemble des matrices de définies positives.

Soit une application d'un intervalle de dans qui à associe la matrice de coefficient d'indices . Si pour tout de , l'application est intégrable sur , on note la matrice de de coefficient d'indices .

L'objectif de ce problème est d'étudier la notion de fonction matriciellement croissante.

Dans la première partie on étudiera les notions de matrices symétriques réelles positives et définies positives, puis on définira sur l'ensemble des matrices symétriques réelles une relation d'ordre. Diverses propriétés de cette relation seront utilisées dans les deux parties suivantes.

Dans la seconde partie, on définira ce qu'est une fonction matriciellement croissante (ou décroissante) et on étudiera des exemples de fonctions homographiques et puissances.

La troisième et dernière partie fera appel à une représentation intégrale et permettra de montrer que la fonction logarithme népérien et la fonction pour sont matriciellement croissantes.

Dans tout le problème, désigne une matrice symétrique réelle d'ordre .

I. 1 Montrer que si appartient à , alors pour toute matrice de appartient aussi à .
I. 2 Montrer que appartient à (respectivement ) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives (respectivement strictement positives).
I. 3 Montrer que la matrice est symétrique positive. Est-elle symétrique définie positive?
I. 4 Soit la matrice . Est-elle symétrique définie positive?
I. 5 Montrer que si appartient à et si est une matrice symétrique réelle semblable à , alors appartient aussi à .
I. 6 a) Soit . Montrer que si est valeur propre de , alors est non nul et est valeur propre de . En déduire le spectre de en fonction du spectre de .
b) Montrer que si appartient à , alors est inversible et appartient à .
I. 7 Montrer que si pour tout , alors toute valeur propre de est nulle et .
I. 8 On munit des relations notées et , définies respectivement par :

et

a) Si et sont deux matrices de telles que et , montrer que .
b) , montrer que l'on n'a pas nécessairement ou .
c) Si et sont deux matrices de telles que , a-t-on ?
d) Si et sont deux matrices de telles que et un réel, comparer les matrices et pour la relation .
e) Si et sont trois matrices de telles que , comparer les matrices et pour la relation .
I. 9 Soit avec . Montrer que pour toute matrice de , .
I.10 On suppose .
a) Que peut-on dire des valeurs propres de ? En déduire que est inversible.
b) Que peut-on dire des valeurs propres de ? En déduire : .
I. 11 a) Montrer que s'il existe telle que , alors est symétrique définie positive.
b) Montrer que si est diagonale définie positive, alors il existe telle que .
c) Montrer que ce résultat subsiste si est symétrique définie positive non diagonale.
I. 12 Soit tel que et telle que . Montrer que , en déduire que est inversible et .

II. 1 Dans cette question seulement, on suppose d'une part que est supérieur ou égal à 2 et d'autre part que possède exactement deux valeurs propres et de multiplicités respectives et .
a) Montrer qu'il existe un unique couple ( ) de matrices de tel que :

Expliciter les deux matrices en fonction de et montrer qu'elles sont symétriques.
b) Si est une matrice orthogonale telle que (où est répété fois et fois), exprimer (respectivement ) en fonction de , de et d'une matrice diagonale. En déduire que et donner les rangs de et en fonction de et .
c) Montrer que pour tout et en déduire pour l'expression de en fonction de et .
d) Soit la matrice de dont tous les coefficients valent 1 sauf les coefficients diagonaux qui valent 2 . Vérifier que admet exactement deux valeurs propres et déterminer les matrices et associées.
II. 2 Soit l'endomorphisme de dont est la matrice dans la base canonique de . On note les valeurs propres distinctes de et les sous-espaces propres de respectivement associés.
a) Montrer que : .
b) Montrer que pour tout tel que , les sous-espaces propres et sont orthogonaux. Que vaut la somme directe ?
c) Si et , on note la projection orthogonale de sur . La matrice de dans la base canonique de est notée .
i) Montrer que la matrice est symétrique.
ii) Si est élément de , évaluer et en déduire que pour tout tel que .
d) Montrer que et .

La décomposition est dite décomposition spectrale de .
II. 3 Soit un intervalle de et une application de dans . Si sont dans , on définit la matrice par

a) Montrer que .
b) Si est vecteur propre de pour la valeur propre , montrer que est aussi vecteur propre de et préciser la valeur propre correspondante.
c) Calculer où est la matrice introduite en II. 1 d).

L'application sera dite matriciellement croissante (respectivement matriciellement décroissante) sur si pour tout et tout couple ( ) de matrices de dont les valeurs propres sont dans :

II. 4 a) Soit . A quelle condition sur la matrice peut-on définir ? Montrer qu'alors et en déduire que est matriciellement décroissante sur .
b) Soit . A quelle condition sur la matrice peut-on définir ? Montrer qu'alors et en déduire que est matriciellement croissante sur .
II. 5 Pour , soit et pour tout réel, soit et les matrices définies par :

a) Montrer que pour tout réel, .
b) Pour , déterminer explicitement la décomposition spectrale de .
c) En déduire que pour tout .
d) Montrer que .
e) Calculer det . En donner un équivalent simple au voisinage de et en déduire que pour n'est pas matriciellement croissante sur .

III. 1 a) Soit un intervalle de et une application telle que pour tout de est intégrable sur . Montrer que pour toute matrice colonne de est intégrable sur et :

b) Soit une application de dans intégrable sur et . Justifier l'existence de et montrer que :

III. 2 Soit et la fonction donnée par .
a) Montrer que pour tout existe.
b) Montrer, en utilisant par exemple le changement de variable , qu'il existe une constante strictement positive telle que pour tout .
c) Montrer que pour tout est inversible et .
d) En déduire .
e) Soit et deux matrices de telles que . Montrer que :

En déduire que est matriciellement croissante sur , puis que pour , la fonction introduite en II. 5 est matriciellement croissante sur .
III. 3 a) Montrer que pour tout .
b) En déduire .
c) Montrer que la fonction ln est matriciellement croissante sur .