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CCINP Mathématiques 1 PC 2014

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Algèbre linéairePolynômes et fractionsAlgèbre généraleAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensEquations différentielles
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CCINP
Année
2014
Filière
PC
Matière
Maths
CCINP PCCCINP 2014PC MathsMaths 2014
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

L'objectif du problème est de définir et d'étudier les notions de polynôme, de matrice et de système différentiel stable.
La partie I traite le cas particulier de la dimension 2 et aborde un contre-exemple en dimension 3. La partie II introduit les outils théoriques qui se spécialisent dans la partie III pour montrer en partie IV le critère de Routh-Hurwitz pour la stabilité des polynômes unitaires de degré 3. La partie V est une application de la partie IV à un système différentiel d'ordre 3 particulier.
La partie I est indépendante des quatre autres parties. Les parties II, III, IV et V sont, pour une grande part, indépendantes les unes des autres.
Le résultat principal de la partie II et celui de la partie IV sont résumés clairement en fin de partie.
Il est demandé, lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

Notations et définitions

Notations :

Soient et deux entiers naturels non nuls, l'ensemble ou .
Notons l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans , l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans , l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients dans , la matrice identité d'ordre .
Pour , on note l'ensemble des racines de qui sont dans , c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui sont tels que : .
On dit que est unitaire si est non nul et si son coefficient dominant est égal à 1 .
Pour , on note la trace de la matrice transposée de le déterminant de et le polynôme caractéristique de , c'est-à-dire tel que :
L'ensemble est noté et l'ensemble des matrices telles que :
é
Pour dans , on définit comme étant l'élément tel que: .
Pour tout , on note la partie réelle de le module de et le complexe conjugué de .

Définitions :

Pour , on dit que est stable si :
Pour , on dit que est stable si est stable.

Partie I : STABILITE DANS DES CAS PARTICULIERS

Soient et deux réels. On note et .
On note et deux nombres complexes tels que : .
Soit et .
I.1. Montrer que et .
I.2. On suppose dans cette question que .
I.2.a. Vérifier que si est stable, alors et .
I.2.b. Montrer réciproquement que si et , alors est stable.
I.3. On suppose dans cette question que .
Montrer que est stable si et seulement si et .
I.4. On suppose dans cette question que .
I.4.a. Justifier que .
I.4.b. Montrer que est stable si et seulement si et .
I.5. On suppose dans cette question que et que .
I.5.a. Exprimer en fonction de et .
I.5.b. Etablir que est stable si et seulement si et .
I.6. On suppose dans cette question que .
I.6.a. Trouver les racines complexes de .
I.6.b. Vérifier que et que .
I.6.c. Montrer que ni ni ne sont stables.

Partie II : NORME SUBORDONNEE ET MESURE DE LOZINSKII

Soit un entier naturel non nul. Dans toute cette partie, on note une certaine norme sur le -espace vectoriel . On définit l'ensemble : tel que .
Pour , on définit : (l'existence de cette borne supérieure sera établie dans la question II.1.c.).
On admet que l'application définit ainsi une norme sur l'espace vectoriel qui s'appelle la norme subordonnée à : en effet, elle dépend du choix de la norme .
II.1.
II.1.a. Rappeler la définition d'une norme sur .
II.1.b. Vérifier que l'application est continue sur .
II.1.c. Montrer l'existence de tel que: . Cela justifie donc la définition de et on a alors .
II.1.d. Montrer que .
II.1.e. Etablir que pour tout et , on a : .
II.1.f. Montrer que, pour tout et , on a :
II.2. Montrer que, pour tout , on a : .
II.3. Soit . On se propose dans cette question de montrer l'existence du réel :
Ce réel est appelé mesure de Lozinskiĭ de (il dépend du choix de la norme initiale).
Pour , on note .
II.3.a. Montrer que pour tout et éléments de :
II.3.b. En déduire que si , alors : .
II.3.c. Vérifier que pour tout , on a : .
II.3.d. En déduire l'existence du réel .
II.4. On suppose dans cette question que . Soit .
II.4.a. Montrer qu'il existe tel que et puis que, pour tout réel strictement positif, on a : .
II.4.b. En déduire que : .
II.4.c. Donner une condition suffisante sur pour que soit stable.

Le résultat principal de cette partie II est que :

où

Partie III : NORMES ET MESURES DE LOZINSKII ASSOCIEES

Dans cette partie, à tout élément de , on associe la matrice-colonne . De plus, si , on note et .
On munit du produit scalaire canonique et de sa norme associée définis par les formules :
On remarque que ce produit scalaire et cette norme sur donnent par restriction le produit scalaire canonique et sa norme associée sur définis par :
Pour un élément de , on admet que les réels et sont les mêmes selon que l'on considère comme élément de et que l'on munit de la norme ou que l'on considère comme élément de et que l'on munit de la norme . On note alors ces deux réels et . On a ainsi :
ù
Dans toute cette partie, on désigne par un élément de .
III.1. Montrer que pour tout et pour tout :
III.2. Montrer qu'il existe et des réels tels que et
III.3. On suppose dans toute cette question que et . On pose .
III.3.a. Montrer que .
III.3.b. Vérifier que .
III.3.c. Montrer l'existence de deux réels et tels que, pour tout vérifiant , on ait : .
III.3.d. Montrer que pour et choisis comme en III.3.c, on a, pour tout :
III.3.e. En déduire que tel que .
III.4. Soit une matrice de inversible. Pour , on pose .
On admet que l'on définit ainsi des normes sur comme sur qui donnent sur une même norme subordonnée notée et une même mesure de Lozinskiĭ notée .
III.4.a. Montrer que, pour tout .
III.4.b. En déduire que, pour tout , on a : .

Partie IV : UN CRITERE DE STABILITE EN DEGRE 3

Soient et trois réels.
On considère le polynôme réel unitaire de degré 3 écrit sous la forme :
On dit que vérifie la propriété si :
Par le théorème de D'Alembert-Gauss, on note et trois nombres complexes tels que:
IV.1. Montrer que : et
IV.2. Montrer que l'une des racines de est un nombre réel.
On suppose dans toute la suite de cette partie que est un réel qui sera noté et que et s'écrivent sous la forme et avec des réels et .
IV.3. On suppose dans cette question que .
IV.3.a. Montrer que .
IV.3.b. Montrer que si est stable, alors vérifie la propriété .
IV.4. On suppose dans cette question que .
IV.4.a. Justifier que et que .
IV.4.b. Vérifier que : et
IV.4.c. Montrer que si est stable, alors vérifie la propriété .
IV.5. Montrer que si vérifie la propriété , alors et sont non nuls.
IV.6. On suppose dans cette question que vérifie la propriété .
On pose alors avec et si bien que et sont trois réels strictement positifs.
On note H la matrice diagonale inversible suivante : .
On pose .
IV.6.a. Montrer que .
IV.6.b. Calculer explicitement et vérifier que : .
IV.6.c. En déduire que .
IV.6.d. En conclure que est stable.

Le résultat principal de cette partie IV est que :

un polynôme à coefficients réels, unitaire de degré 3 est stable si et seulement si ce polynôme vérifie la propriété .

Partie V : EXEMPLE DE SYSTEME DIFFERENTIEL STABLE

Soit .
On considère le système différentiel ( S ) suivant, d'inconnue , une fonction de classe de dans :
On dit que ce système différentiel est stable si, quelle que soit la solution de , on a :
V.1. Vérifier que, pour tout .
V.2. En déduire que est stable.
V.3. Montrer l'existence d'une matrice inversible et de trois réels et , tels que : avec .
On ne cherchera pas à trouver explicitement ni les réels et .
V.4. On note, pour tout .
V.4.a. Montrer que est solution de ( S ) si et seulement si est de classe sur et pour tout , on a : .
V.4.b. En déduire l'expression de en fonction de dans ce cas.
V.4.c. Montrer qu'il existe et dans tels que, pour tout :
On ne cherchera pas à trouver explicitement les matrices et . V.4.d. Vérifier que le système différentiel ( S ) est stable.

Fin de l'énoncé

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