CCINP Mathématiques 1 PSI 2002

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Cette épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants l'un de l'autre.

Dans ce problème, on désigne par :
la fonction partie entière,
I l'intervalle ] [ ,
A l'ensemble des applications continues par morceaux de dans qui vérifient la condition : pour tout .

Si et , on considère .
Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés de .

On considère pour et et .
P. 1 Déterminer l'ensemble de convergence simple de la série (resp. de la série ).

On note désormais pour et pour .
P. Expliciter pour .
P.3/ Etablir (en la justifiant) unc rclation entre les fonctions et . En déduire l'expression explicite de pour .

1/ Une étude de A.
1.1/ On considère la fonction définie sur par . Montrer que si alors l'application est intégrable sur et expliciter .
1.2/ Vérifier que si et si , alors la fonction est intégrable sur .
Ainsi, lorsque , la fonction est bien définie sur et on note désormais .
1.3/ Soit et .
1.3.1 Déduire de ce qui précède que admet une limite que l'on précisera lorsque tend vers .
1.3.2/ On suppose de plus que est continue sur . Montrer que la fonction est de classe sur l'intervalle .

On considère dans cette question la fonction définie sur par (partie entière de ) et soit .
2.1/Vérifier que la fonction appartient à l'ensemble A.
2.2/ Montrer que la fonction peut s'exprimer à l'aide de l'une des deux fonctions ou , et expliciter pour .

On considère dans cette question la fonction définie sur par et soit .
3.1/ Montrer que la fonction appartient à l'ensemble .
3.2/ La fonction est-elle de classe sur l'intervalle ?
3.3/ Indiquer l'allure du graphe de sur l'intervalle .
3.4/ Expliciter pour .

Dans tout ce problème, ; si avec on note l'ensemble des tels que .
On désigne par :
l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients dans ,
l'ensemble des matrices orthogonales de ,
l'ensemble des matrices diagonales de ;
si on note :
avec , où désigne l'élément de la i-ème ligne et de la j-ème colonne de la matrice ,
la matrice transposée de ,
det le déterminant de ,
l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est la matrice ,
la transposée de la comatrice de (on rappelle la relation , où désigne la matrice unité de .
Etant donné deux éléments de et , on associe au couple la matrice définie par avec

Par exemple pour

Pour fixé, on note l'ensemble des matrices pour .
On se propose d'étudier quelques propriétés des matrices et de l'ensemble .

Etude de
Soit l'ensemble des matrices pour et .
T. 1. soit

Calculer .
L'ensemble est-il stable pour la multiplication?
I. 2 . Expliciter l'ensemble (c'est à dire l'ensemble des matrices de qui sont orthogonales).
I.3/ Montrer que toute matrice appartenant à peut s'écrire sous la forme avec et ; préciser le nombre de décompositions.
1.4/ On considère une matrice .
I.4.1/ On suppose . Justifier l'existence de ; la matrice appartientelleà ?
I.4.2/ La matrice est-elle diagonalisable dans

I.5.1/ Les deux matrices et sont-elles semblables dans lorsque
1.5.2/ On suppose que .

Les deux matrices et sont-elles semblables dans ?

Pour , soit dans le but de simplifier, on notera ou simplement le déterminant de la matrice .
II.1/ Calcul de .

ÌI.1.1/ Calculer .
I1.1.2/ Pour exprimer fonction de et .
II.1.3/ Quelle est la valeur de pour

N1.4/ Calculer pour , en fonction des et des .

M2.1 On suppose qu'il existe une matrice . Soit , on pose ; vérifier que et que .
II.2.2/ Soit ; existe-t-il et telles que ?
II.2.3/ Pour on considère la matrice avec . Existe-t-il et telles que ?
II.2.4/ On suppose que et que .
II.2.4.1/ Quelles sont les valeurs possibles pour ?
II.2.4.2/ Préciser l'ensemble et son cardinal.
II.2.4.3/ Soit telle que et . Montrer qu'il existe et telles que .

On considère dans cette question la matrice pour .
II.3.1/ Justifier l'affirmation :

Pour tout la matrice est diagonalisable dans .
Si désignent les valeurs propres de , préciser la valeur de .
II.3.2/ Pour , on note le produit scalaire euclidien canonique de et . On associe à la forme bilinéaire (notée simplement ) définie par:
pour tout .
La forme bilinéaire définit-elle un produit scalaire sur ? (on pourra considérer pour vecteur propre de l'endomorphisme ).

Ì.4.1/ Montrer que pour toute matrice la matrice est élément de .

Dans la suite on suppose que .
II.4.2/ Si la matrice appartient-elle à ?
II.4.3/ Existe-t-il un entier tel que pour toute matrice la matrice soit élément de ?