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CCINP Mathématiques 1 PSI 2005

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionSuites et séries de fonctionsAlgèbre linéaire
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Banque
CCINP
Année
2005
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2005PSI MathsMaths 2005
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Les calculatrices sont autorisées.

N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Notation et Objectifs :

On note :
  • : l'ensemble des nombres entiers naturels,
  • : l'ensemble des nombres réels,
  • : l'ensemble des nombres complexes,
  • : le - espace vectoriel des fonctions continues de dans ,
  • : le sous-espace vectoriel de des fonctions 1-périodique (c'est-à-dire telles que , pour tout ).
Dans tout ce problème, on désigne par l'application de dans , définie par : pour tout où est la fonction de dans qui à , associe .
On admet que est un endomorphisme de .
L'objet de ce problème est l'étude de quelques propriétés de la fonction et de l'endomorphisme .

PARTIE I

Quelques propriétés de

I.1/ Exemples.

I.1.1/ Expliciter , si est définie sur par .
I.1.2/ Expliciter , si est définie sur par (où est fixé dans ).

I.2/ Variation de .

On désigne maintenant par une fonction arbitraire de .
I.2.1/ Montrer que la fonction est de classe sur . Expliciter en fonction de et de .
I.2.2/ Montrer que si la fonction est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle , alors la fonction est croissante (respectivement décroissante) sur .
I.2.3/ Montrer que la fonction est constante sur si et seulement si appartient à .
I.2.4/ Expliciter , si est définie sur par .

On suppose de nouveau que désigne une fonction arbitraire de .

I.2.5/ On suppose que la fonction admet une limite finie en .
Montrer que la fonction admet une limite (que l'on explicitera) en ; on pourra étudier d'abord le cas où .

I.3/ Propriétés du graphe de .

Soient et .
On considère la fonction définie sur par .
I.3.1/ Comparer et , si la fonction est impaire (respectivement paire).
I.3.2/ Quelle propriété géométrique de a représentation graphique de la fonction peut-on déduire des résultats obtenus en I.3.1, si la fonction est impaire (respectivement paire) ?

I.4/ Étude d'un exemple.

Soit , pour réel.
I.4.1/ Montrer que la fonction est définie et continue sur .
I.4.2/ La fonction est-elle de classe sur ?
I.4.3/ La fonction admet-elle une limite en ? Si oui, laquelle?
I.4.4/ Indiquer l'allure de la représentation graphique de la fonction (on ne cherchera pas à préciser ).
I.4.5/ La fonction est-elle intégrable sur ?
I.4.6/ Soit .
I.4.6.1/ Indiquer l'allure de la représentation graphique de la fonction .
I.4.6.2/ La fonction est-elle intégrable sur ?
(on pourra comparer et pour appartenant à ).

PARTIE II

L'endomorphisme

II.1/ L'endomorphisme est-il surjectif ?

II.2/ Sur le noyau de ? .

On note désormais Ker? le noyau de l'endomorphisme .
II.2.1/ Montrer que et .
II.2.2/ Soit . On note .
On admettra, sans justification, que . .
Soit . On note la fonction définie sur par .
II.2.2.1/ Vérifier que appartient à pour tout et calculer pour .
II.2.2.2/ Ker? est-il de dimension finie?
II.2.3/ Soit .
Soit . On note : pour .
Soit . On pose .
II.2.3.1/ Établir, pour tout , la relation : .
II.2.3.2/ Si on suppose que appartient à Ker?, quelle est la nature de la série
II.2.3.3/ Si on suppose que n'appartient pas à ?, quelle est la nature de la série ?

II.3/ Sur le spectre de .

On note l'ensemble des valeurs propres réelles de l'endomorphisme .
Si est un nombre réel fixé, on note la fonction définie sur par .
II.3.1/ Montrer que chaque est un vecteur propre de l'endomorphisme .
II.3.2/ Étudier les variations de la fonction pour .
II.3.3/ Expliciter l'ensemble .

PARTIE III
Une suite de fonctions propres de l'endomorphisme

Soit une valeur propre de l'endomorphisme .
On note le sous-espace propre associé à la valeur propre qui est fixée dans toute cette partie.
On suppose .
III.1/ Soit . On note l'intervalle .
On pose, pour tout de l'intervalle , où ln désigne la fonction logarithme népérien.
III.1.1/ Soit la fonction définie sur , par: .
Étudier la fonction sur et préciser son signe.
III.1.2/Montrer que définit une bijection de sur un intervalle de à préciser.
On se propose de montrer l'existence, dans , d'une suite (non triviale) de fonctions propres.
III.2/ Soit , où .
III.2.1 Soit . Calculer .
III.2.2/ À quelle condition nécessaire et suffisante la fonction de dans définie par est-elle un vecteur propre de l'endomorphisme associé à la valeur propre ?
III.3/ En déduire une suite de fonctions propres de l'endomorphisme .
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