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CCINP Mathématiques 1 PSI 2006

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Séries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales à paramètresEquations différentielles
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Banque
CCINP
Année
2006
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2006PSI MathsMaths 2006
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Les calculatrices sont autorisées.
N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet comporte 6 pages.

Notations:

On note :
  • : l'ensemble des entiers naturels,
  • : l'ensemble des nombres réels,
  • : l'ensemble des nombres complexes.
Pour appartenant à , on note son module.
Pour tout entier naturel , on note :
  • la factorielle de avec la convention ,
  • l'ensemble des entiers naturels vérifiant ,
  • le nombre de parties ayant éléments d'un ensemble de éléments, pour .
On rappelle :
  • la valeur de pour ,
  • la formule du binôme: si et sont des nombres complexes et un entier naturel, alors : .
Enfin si est un entier naturel non nul on note la somme et on pose .

Objectifs :

Dans les parties I et II on étudie un procédé de sommation, la partie III est consacrée à l'étude de diverses fonctions et en particulier une fonction à laquelle on applique ledit procédé de sommation.

Étude d'un procédé de sommation

Dans les parties I et II les notations utilisées sont les suivantes :
Toute application de dans étant une suite complexe, si a est une telle suite, on utilise la notation usuelle .
Á toute suite complexe , on associe la suite définie par : pour tout .
L'objet des parties I et II est de comparer les propriétés de la série aux propriétés de la série .

PARTIE I

Deux exemples

I.1/ Cas d'une suite constante.

Soit ; on suppose que la suite est définie par : pour tout .
I.1.1/Expliciter pour .
I.1.2/Expliciter pour .
I.1.3/La série ( resp. ) est -elle convergente?

I.2/ Cas d'une suite géométrique.

Soit ; on suppose que la suite est définie par : pour tout .
I.2.1/Exprimer en fonction de et .
I.2.2/On suppose que .
I.2.2.1/ Justifier la convergence de la série et expliciter sa somme .
I.2.2.2/ Justifier la convergence de la série et expliciter sa somme en fonction de .
I.2.3/On suppose que .
I.2.3.1 Quelle est la nature (convergente ou divergente) de la série ?
I.2.3.2/ Quelle est la nature de si ?
I.2.3.3/ On suppose que , avec réel tel que Montrer que la série est convergente. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de la somme .

PARTIE II

Étude du procédé de sommation

Dans cette partie, et pour simplifier, on suppose que la suite est à valeurs réelles, la suite étant toujours définie par : pour tout .

II.1/ Comparaison des convergences des deux suites.

II.1.1/ Soit , on considère un entier fixé, .
II.1.1.1/ Préciser un équivalent de lorsque tend vers .
II.1.1.2/ En déduire la limite de lorsque tend vers .
II.1.2/ Soient une suite réelle et un entier naturel fixé.
On considère pour la somme .
Quelle est la limite de lorsque l'entier tend vers ?
II.1.3/ On suppose que tend vers 0 lorsque tend vers ; Montrer que tend vers 0 lorsque tend vers .
II.1.4 On suppose que tend vers (limite finie) lorsque tend vers . Quelle est la limite de lorsque tend vers ?
II.1.5/ La convergence de la suite est-elle équivalente à la convergence de la suite

II.2/ Comparaison des convergences des séries et .

Pour , on note .
II.2.1/ Pour , exprimer comme combinaison linéaire des sommes , c'est à dire sous la forme .
II.2.2/ On se propose de déterminer l'expression explicite de comme combinaison linéaire des sommes pour :
と
II.2.2.1/ A quelle expression des coefficients (en fonction de et ) peut-on s'attendre compte tenu des résultats obtenus à la question II.2.1 ?
II.2.2.2/ Etablir la formule par récurrence sur l'entier (on pourra remarquer que pour tout avec la convention ).
II.2.3/ On suppose que la série est convergente.
Montrer que la série est convergente et exprimer la somme en fonction de la somme .
II.2.4/La convergence de la série est-elle équivalente à la convergence de la série

PARTIE III

Une étude de fonctions

On rappelle que : pour et .
Pour réel, lorsque cela a du sens, on pose :
.

III.1/ Étude de .

III.1.1/ Vérifier que est définie et continue sur .
III.1.2/ Expliciter pour tout réel.
III.1.3/ Expliciter pour tout réel.

III.2/ Étude de .

III.2.1/ Montrer que est définie et de classe sur .
III.2.2/ On désigne par la dérivée de la fonction ; exprimer en fonction de .
III.2.3/ Montrer que pour tout réel :

III.3/ La fonction .

On considère la fonction définie sur par :
III.3.1/ Montrer que la fonction est développable en série entière sur et expliciter son développement.
III.3.2/ Pour , on note .
Exprimer en fonction de et .
III.4/ La série .
Pour on note le logarithme repérien de .
III.4.1/ Soit pour
III.4.1.1/ Montrer que la série est convergente.
III.4.1.2/ En déduire que la suite de terme général admet une limite finie (que l'on ne demande pas de calculer) lorsque tend vers .
III.4.2/ Pour , on pose ; exprimer en fonction de et .
III.4.3/ Montrer en utilisant III.4.1 et III.4.2 que la série est convergente et déterminer sa somme .

III.5/ Étude de la fonction .

On rappelle que pour réel .
III.5.1/ Déterminer le rayon de convergence de la série entière .
III.5.2/ Préciser l'ensemble de définition de la fonction , et étudier ses variations sur .
III.5.3/ Valeur de .
En utilisant les résultats de la partie II et de la question III.4.3 expliciter la valeur de .
III.5.4/ Expliciter pour appartenant à et retrouver la valeur de .
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