CCINP Mathématiques 1 PSI 2012

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet comporte 7 pages.

On désigne par l'ensemble des nombres réels et par l'ensemble des nombres complexes. Dans tout le problème, on note un entier naturel non nul et on désigne par l'ensemble ou l'ensemble .
On note (respectivement ) le -espace vectoriel des matrices carrées à lignes (respectivement le -espace vectoriel des matrices colonnes à lignes), à coefficients dans . La notation signifie que est le coefficient de la ligne et de la colonne de la matrice . Lorsqu'une matrice de est inversible, on note sa matrice inverse. Soient un intervalle de et un espace vectoriel de matrices à coefficients dans .
Une application est continue (respectivement dérivable), lorsque, pour décrivant , les coefficients de la matrice sont des fonctions continues (respectivement dérivables) de dans . On dira en abrégé que est une matrice continue (respectivement dérivable) sur et on notera pour tout dans . Lorsque cette matrice est dérivable, on note la matrice dérivée.
Pour deux matrices dérivables et , dont le produit existe, on admettra la formule .

Soit un intervalle de , soient une matrice carrée d'ordre continue sur et une matrice colonne à lignes continue sur , les coefficients des matrices et étant des fonctions à valeurs dans .
On considère l'équation différentielle ( ) : où les solutions sont des matrices colonnes à lignes dérivables sur , dont les coefficients sont des fonctions à valeurs dans .
On note l'équation différentielle homogène associée.
On dira que ( ) et ( ) sont des équations différentielles matricielles. On note l'ensemble des solutions de . On rappelle que:

Dans la première partie, il faut résoudre un exemple d'équation différentielle matricielle à coefficients constants.
Dans la deuxième partie, on traite le cas général de l'équation différentielle matricielle en définissant la matrice résolvante de .
Dans la troisième partie, on utilise les résultats de la deuxième partie pour résoudre une équation différentielle scalaire du second ordre.

On considère les équations différentielles :

où désigne une matrice à coefficients constants appartenant à .
On suppose que .
I. 1 Soient un vecteur non nul de et un élément de . Montrer que la matrice est une solution de si et seulement si est un vecteur propre de associé à la valeur propre .

On suppose et .
I.2.1 On suppose et on considère l'équation différentielle ( ).

Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice .
En déduire un système fondamental de solutions, puis la solution générale complexe de ( ) sur l'intervalle .
I.2.2 On suppose et on considère l'équation .

On note .
Écrire le système d'équations différentielles linéaires scalaires vérifié par les quatre fonctions .
Déterminer la solution générale réelle de ( ) sur l'intervalle (on pourra déterminer successivement , puis , puis et .

Préciser la solution de telle que .

On reprend le cas général d'une équation différentielle définie dans la partie notations. On prendra un intervalle de et ou .
On note l'espace vectoriel de dimension des solutions de l'équation différentielle linéaire homogène ( ) associée.
Pour donné, on note l'application de dans définie par :

D'après le rappel sur le problème de Cauchy, l'application est un isomorphisme de sur .
Soit un système fondamental de solutions de ( ).
II. 1 Soient et dans . Soit et soit la solution de telle que . Justifier l'égalité .
II. 2 On rapporte l'espace vectoriel à la base ( ) et l'espace vectoriel à sa base canonique .
II.2.1 Soit . Prouver que la matrice, dans ce couple de bases, de l'application linéaire de dans est la matrice wronskienne :

II.2.2 Soient et dans . On note . Prouver que la matrice ne dépend pas du système fondamental de solutions choisi.

La matrice s'appelle la résolvante de l'équation différentielle linéaire ( ).

Soient et dans .
II.3.1 Pour simplifier, on note , la dérivée par rapport à de la matrice .

Montrer que . En déduire que, pour tout , la matrice est la solution de telle que .
II.3.2 Montrer que . En déduire .

Soient et dans , on cherche une solution particulière de sous la forme :

où est une application dérivable à déterminer.
II.4.1 On suppose que est une solution de . Montrer que :

II.4.2 En déduire que est une solution de (la matrice étant la matrice colonne dont les coefficients sont les intégrales des coefficients de la matrice colonne .
II.4.3 Montrer que est une solution particulière de .

Dans cette partie, .
III. 1 On considère l'équation différentielle:

où est une fonction deux fois dérivable définie sur un intervalle .
III.1.1 En cherchant les polynômes solutions de ( ) sous la forme avec , déterminer le degré de ces polynômes puis déterminer tous les polynômes solutions de ( ) sur . Préciser le polynôme solution de et vérifiant .
III.1.2 Vérifier que la fonction est solution de sur l'intervalle .
III.1.3 On cherche les solutions non nulles de développables en série entière : pour , où est le rayon de convergence de la série.
III.1.3.1 Pour tout entier naturel , écrire, selon les valeurs de , les relations entre et . Déterminer le rayon de convergence .
III.1.3.2 Montrer qu'il existe un entier non nul à déterminer, tel que pour , le coefficient s'exprime en fonction de . Donner l'expression de en fonction de . Comment retrouve-t-on les fonctions et parmi ces solutions?
III. 2 On considère l'équation différentielle:

où sont des fonctions continues définies sur un intervalle .
III.2.1 On définit la fonction par et on note . Déterminer une matrice carrée et une matrice colonne telles que l'équation différentielle s'écrive matriciellement sous la forme ( ) : .
III.2.2 On note une base de l'espace vectoriel des solutions sur de l'équation différentielle .
Les matrices forment alors un système fondamental de solutions de l'équation différentielle .
Soit la matrice wronskienne de ce système fondamental de solutions.
Pour et dans , on note en abrégé pour pour pour pour pour pour pour et pour .
Exprimer les coefficients de la matrice en fonction de . puis ceux de la matrice résolvante , en fonction de .
III. 3 On considère l'équation différentielle :

et on prend .
III.3.1 Écrire l'équation différentielle (e) sous la forme de l'équation différentielle ( ) de la question III.2.
En déduire les matrices et telles que l'équation différentielle ( ) s'écrive matriciellement sous la forme : .
III.3.2 On applique les résultats de la question III. 2 avec et , où et sont les fonctions définies dans III.1. Pour et dans , expliciter le déterminant de et la valeur de .
III.3.3 Soient et dans . En appliquant les résultats précédents de cette partie et de la partie II, montrer que la fonction :

est une solution particulière de l'équation différentielle (e).
Montrer que cette solution est encore valable pour .
Expliciter la solution générale de (e) sur l'intervalle [ [. Quelles sont les solutions de (e) sur qui vérifient ?