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CCINP Mathématiques 1 PSI 2014

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsGéométrieIntégrales généraliséesSéries et familles sommables
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Banque
CCINP
Année
2014
Filière
PSI
Matière
Maths
CCINP PSICCINP 2014PSI MathsMaths 2014
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Notations, définitions et rappels

Pour toute fonction de classe , on note :
une expression intégrale de la longueur de la courbe représentative de .

Partie I

Quelques exemples de calculs de longueurs

I. 1 Vérifier la formule donnant pour définie sur par .
I. 2 Calculer pour définie sur par .

I. 3 Un exemple de calcul de longueur d'un arc de courbe

I.3.1 Calculer pour définie sur .
I.3.2 Retrouver le résultat de la question I.3.1 sans calcul, par des considérations géométriques.
I. 4 Soit définie sur par .
Calculer , en utilisant une intégration par parties ou en s'inspirant de la question I.2.

Partie II

Un calcul approché de longueur

L'objectif de cette partie est d'effectuer un calcul approché de la longueur d'un arc d'hyperbole.
On considère, pour ce faire, la fonction définie sur par .

II. 1 Expression intégrale de

II.1.1 Donner une expression intégrale de .
II.1.2 Montrer que est aussi la longueur de l'arc d'hyperbole correspondant à la restriction de à l'intervalle .

II. 2 Expression de sous forme de série numérique

II.2.1 Soit . Rappeler le développement en série entière de la fonction , en précisant son domaine de validité.
II.2.2 Montrer que, pour tout , on a :
II.2.3 On note, pour tout entier . Montrer que la suite est décroissante et donner un équivalent de quand tend vers l'infini.
II.2.4 En déduire une expression de comme somme d'une série numérique (on vérifiera avec soin les hypothèses du théorème utilisé).
II.2.5 Donner une valeur approchée de en utilisant les 5 premiers termes de la série obtenue à la question précédente et donner une majoration de l'erreur commise.

Partie III

Longueur du graphe des fonctions puissances

On s'intéresse ici, pour tout entier , aux fonctions puissances définies sur par :
On désigne par la suite définie par :

III. 1 Conjecture sur la limite éventuelle de

III.1.1 Déterminer et .
III.1.2 En traçant, sur un même graphe, les courbes représentatives de quelques fonctions avec de plus en plus grand, conjecturer la convergence de la suite ainsi que la valeur de sa limite éventuelle.

III. 2 Convergence et limite de la suite

III.2.1 Montrer que, pour tout entier , on a :
où :
III.2.2 Montrer que pour tout .
III.2.3 Déterminer la limite de la suite (on citera avec précision le théorème utilisé).
III.2.4 En déduire la convergence de la suite , ainsi que la valeur de sa limite.
III. 3 Plus généralement, montrer que si est une fonction de classe , croissante et telle que et , on a alors .

Partie IV
Un résultat inattendu

IV. 1 Etude de l'intégrale généralisée
IV.1.1 Montrer que l'intégrale généralisée est convergente.
IV.1.2 Montrer que, pour tout , on a :
En déduire que l'intégrale généralisée est convergente.
IV.1.3 Montrer que l'intégrale généralisée est convergente.
IV.1.4 Montrer que l'intégrale généralisée est divergente. En déduire la divergence de l'intégrale généralisée .
IV. 2 On désigne par la fonction définie sur par et par la fonction définie sur le même intervalle par .
IV.2.1 Montrer que la fonction se prolonge par continuité en 0 . On notera encore ce prolongement.
IV.2.2 Montrer que est continue sur et indéfiniment dérivable sur .
IV.2.3 Montrer que :
IV. 3 Pour tout réel , on désigne par la longueur de la courbe représentative de la restriction de la fonction au segment .
Donner une expression intégrale de , pour tout , puis montrer que . Donner une interprétation de ce résultat.

Partie V

Continuité de la fonction longueur

On rappelle que l'application :
définit une norme sur l'espace des fonctions continues de dans .
On note l'espace des fonctions continûment dérivables de dans et pour toute fonction , on note :

V. 1 Comparaison des normes et

V.1.1 Montrer que l'application définit une norme sur l'espace .
V.1.2 Montrer que :
V.1.3 Les normes et sont-elles équivalentes sur ?
V. 2 On désigne par la suite de fonctions définie sur [ 0,1 ] par :
V.2.1 Montrer que la suite converge uniformément vers la fonction nulle sur [ 0,1 ] .
V.2.2 On désigne, pour tout entier , par la longueur de la courbe représentative de . Montrer que :
V.2.3 L'application est-elle continue sur ?
V.2.4 L'application est-elle continue sur ?
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