Les calculatrices sont interdites.
NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Notations du problème

Soit

un entier naturel non nul,

l'algèbre des matrices carrées d'ordre

à coefficients réels.
Soit

un élément de

indique le numéro de la ligne de

indique le numéro de la colonne de

.
On appelle trace de

et on note

le nombre réel

désigne la transposée de la matrice

est l'ensemble des matrices carrées inversibles de

désigne la matrice unité d'ordre

est l'ensemble des matrices symétriques.

est l'ensemble des matrices antisymétriques, c'est-à-dire telles que

PARTIE I

Montrer que l'application tr est une application linéaire.
Soit et dans .

Est-ce que l'on a

?
Montrer que

.
3) Soit

dans

. Montrer que

.
4) Soit

matrices semblables.

Que peut-on dire de leurs polynômes caractéristiques?
Que représente

relativcrnent aux coefficients du polynôme caractéristique

?
Retrouver ainsi le résultat de la question 3).
5) Existe-t-il des matrices

dans

telles que

?
6) Soit

. Montrer que

PARTIE II

Soit

dans

. On définit

Montrer que l'application est un produit scalaire sur l'espace vectoriel .
On considèrera l'espace vectoriel euclidien pour toute la suite et la norme associée.
On vérifiera que .
Montrer que et sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de .
Soit et . Montrer que .

En déduire que

est le supplémentaire orthogonal de

dans

.
4) Soit

l'unique décomposition de

selon la somme directe

. Justifier que

.
En déduire que

Soit la fonction de vers définie par .

Montrer que

a un minimum absolu que l'on calculera. On précisera en quel point ce minimum est atteint.
6) Soit

dans

telles que

Calculer

.
À l'aide de I.2) vérifier que

En déduire que

PARTIE III

L'objectif de cette partie est d'établir la propriété suivante par récurrence sur

: soit

un ensemble de

matrices carrées d'ordre

symétriques permutant 2 à 2 :

Alors il existe une matrice orthogonale

d'ordre

telle que

soit une matrice diagonale.

Que peut-on dire de la propriété pour ?
On suppose que est supérieur ou égal à 2 et que la propriété est vraie jusqu'au rang . Les matrices symétriques d'ordre permutent 2 à 2 .
2.1) Que peut-on dire si toutes les matrices sont diagonales?
2.2) On suppose dans toute la suite que n'est pas une matrice diagonale. Justifier l'existence d'un entier , d'un réel , d'une matrice diagonale d'ordre et d'une matrice orthogonale d'ordre tels que : où 0 désigne des blocs nuls et où ne figure pas sur la diagonale de .
2.3) Pour , on écrit la matrice sous forme de 4 blocs où est carré d'ordre et carré d'ordre .
Montrer que et que et sont symétriques.
2.4) Pour , montrer que

En déduire que

sont des blocs nuls.
2.5) Montrer que

2.6) En appliquant l'hypothèse de récurrence à

et à

terminer la démonstration.
3) On considère les deux ensembles de matrices d'ordre deux

définis par :

的

3.1) Vérifier que ces deux ensembles vérifient l'hypothèse figurant dans

au début de la partie III et donner un exemple de matrices orthogonales

telles que

soient des matrices diagonales à préciser.
3.2) Soit les matrices d'ordre 4 écrites par blocs

Donner une base orthonormée de

formée de vecteurs propres communs à

et indiquer les valeurs propres correspondantes pour chaque matrice.

Fin de l'énoncé