CCINP Mathématiques 1 TSI 2004

NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Objet : La transformation de Fourier est un outil employé en sciences de l'ingénieur. En plus d'être linéaire, elle vérifie de nombreuses propriétés. Nous nous proposons d'en établir quelques-unes en nous limitant à un espace vectoriel particulier.

On note (R, ) l'espace vectoriel sur des fonctions définies, continues, infiniment dérivables de R dans [.
On note le sous-espace vectoriel de des fonctions de la forme où P est un polynôme à coefficients complexes.

Pour tout entier naturel, on note , le sous-espace vectoriel de des fonctions de la forme où P est un polynôme à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à .

Soient T, D, S trois applications qui, à une fonction de associent respectivement les fonctions suivantes :

Montrer que les applications définissent chacune un endomorphisme de .

Montrer que S est un automorphisme. Donner .

a) Justifier l'existence de .

De nombreuses méthodes permettent d'obtenir . On l'admettra.
En déduire la valeur de : .
b) Pour toute fonction de , justifier la convergence absolue de .
c) Pour tout réel, pour toute fonction de , justifier la convergence absolue de .

Soit l'application qui, à tout de associe si elle existe la fonction de dans vérifiant :

Vérifier que est bien définie sur , puis montrer que est une application linéaire.

On conservera par la suite les notations suivantes :
un élément de , défini par : pour tout réel.
Son image par définie par: pour tout réel.

Justifier la dérivabilité de , calculer et montrer que dans on a :

que l'on peut écrire de façon plus formelle

En remarquant que 'est l'image d'une fonction de , en déduire que est infiniment dérivable et est donc un élément de .

Par une intégration par parties, montrer que dans on a :

que l'on peut écrire de façon plus formelle :

III-1) Pour tout entier naturel, on note la fonction qui à tout réel associe . Pour tout entier naturel, on considère la famille , justifier que celle-ci constitue une base de . On pose .

III-2) Donner l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) : si est une fonction de dans de classe .

III-3) Vérifier que est un élément de , noter la relation différentielle qui en découle en utilisant les endomorphismes D et T , en déduire une relation différentielle vérifiée par , puis montrer l'existence d'une constante complexe telle que, pour tout réel, .
Exprimer sous forme d'une intégrale et en déduire la valeur de .
III-4) Pour tout entier naturel non nul, on a la relation . Calculer , puis montrer par récurrence que est un élément de . En déduire que pour tout entier naturel non nul, si est un élément de , il en est de même de . Montrer alors que définit un endomorphisme de .

Soit un entier naturel.
On note l'endomorphisme de tel que et l'endomorphisme de tel que .

IV-1) Ecrire les matrices de et dans la base ( ) de .
IV-2) Expliciter o en fonction de . En déduire que est inversible et déterminer son inverse.

Pour tout endomorphisme , on note , et pour tout entier naturel non nul avec la convention qui représente l'application identité sur .

Pour tout entier naturel, on note la ième dérivée de , on a donc (on posera ).

V-1) Pour tout entier naturel non nul, exprimer en fonction de et de T , puis en fonction de .

V-2) Pour tout entier naturel non nul, on a la relation ; exprimer en fonction de et de D , puis en fonction de .

V-3) Exprimer alors . En déduire que est bijectif, justifier les deux formules suivantes :

Cette dernière relation nous permettra par la suite de permuter et .
V-4) Montrer que .

VI-1) Déterminer les valeurs propres de l'endomorphisme ; cet endomorphisme est-il diagonalisable?

VI-2) Déterminer une base de formée de vecteurs propres de .
VI-3) Soit la fonction de dans définie pour tout réel par: , avec .
Décomposer dans la base trouvée à la question précédente.