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CCINP Mathématiques 1 TSI 2005

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries et familles sommables
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Banque
CCINP
Année
2005
Filière
TSI
Matière
Maths
CCINP TSICCINP 2005TSI MathsMaths 2005
2025_08_29_e214548e19477a7e27e9g

Les calculatrices sont interdites

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être un erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Exercice I

Dans tout l'exercice, désigne un entier naturel.

  1. On considère la série de terme général .
    1.1. Montrer qu'elle est à termes positifs.
    1.2. Etudier sa convergence.
  2. On pose ; montrer que est entier.
  3. En déduire la nature de la série de terme général .
  4. Quel est le rayon de convergence de la série de terme général ; préciser les cas .

Exercice II

On rappelle que l'intégrale est convergente et vaut .
  1. Calculer l'intégrale où est un réel
2.1. Justifier la convergence de l'intégrale
2.2. Calculer .
3. On considère , où et sont des réels.
3.1. Exprimer à l'aide de et .
3.2. En déduire les valeurs de en distinguant les différentes régions du plan ( ).
3.3. Donner une expression de regroupant les différents cas.

Problème

Toutes les fonctions considérées dans les parties I, II et III de ce problème appartiennent à l'ensemble des fonctions continues de dans .

Partie I

On considère l'équation ( ) d'inconnue élément de :
, où est une fonction donnée de .
  1. Soit solution de l'équation
    1.1 Monter que , où et sont des réels qui s'expriment par des intégrales dépendant de .
    1.2. Ecrire en fonction de le système d'équations vérifié par et .
  2. En déduire et , puis dans le cas où .

Partie II

On considère l'équation ( ) d'inconnue élément de :
où est un élément donné de et un réel.
  1. En reprenant le procédé de la partie I, montrer que, sauf pour deux valeurs particulières et du paramètre admet une solution unique pour toute fonction .
  2. A quelle condition sur l'équation admet-elle des solutions?
Même question pour ( ).
3. Calculer l'intégrale .
4. En déduire dans le cas (resp. ) un exemple de fonction (resp. ), non identiquement nulle, vérifiant la condition trouvée à la question 2 de la partie II.
5. On choisit pour la fonction nulle.
5.1. Quelle est la solution de ( ) pour distinct de et ?
5.2. Exprimer et , solutions respectives de ( ) et ( ).
5.3. Que dire de ?

Partie III

On note l'application qui à toute fonction de associe la fonction définie sur par: , où est une fonction continue sur , à valeurs réelles.
  1. Montrer que est linéaire et que est continue sur .
  2. Comment l'équation s'écrit-elle?
  3. On note et . Montrer formellement, c'est-à-dire sans considération de convergence, que est solution de l'équation (E).
  4. On pose et .
    4.1. Déterminer puis .
    4.2. Exprimer par récurrence , pour entier naturel non nul.
  5. En déduire par application de la question 3 , et retrouver ainsi le résultat de la question I.3.

Partie IV

Soit un intervalle fermé borné de , avec . Toutes les fonctions considérées dans cette partie, appartiennent à l'ensemble des fonctions continues sur , à valeurs dans .
On considère l'application qui, au couple ( ) de fonctions de , fait correspondre le réel .
Cette application définit un produit scalaire, noté . On notera la norme associée.
  1. On utilise les notations de la partie III, et on pose , où les fonctions et sont orthogonales entre elles : , et normées : .
On pose et . Vérifier que et . En déduire que 1 et -1 sont valeurs propres de . Que peut- on dire alors de et ?
On admettra que 1 et -1 sont les seules valeurs propres non nulles de , et que les espaces propres associés sont de dimension 1 , engendrés respectivement par et .
2. On considère l'équation d'inconnue élément de , où est une fonction donnée de et un réel non nul. On suppose qu'elle admet au moins une solution .
2.1. Montrer que si , cette solution est unique.
2.2. Ecrire l'ensemble des solutions si .
3. étant une fonction donnée, montrer que s'exprime comme combinaison linéaire des fonctions et .
4. Exprimer , pour entier naturel non nul.
5. En déduire que, pour la solution de l'équation obtenue sous la forme : s'écrit , où et sont sommes de séries géométriques.
6. Préciser si est orthogonal à la fois à et à .
7. Application : on choisit ;
7.1. Vérifier que satisfait aux hypothèses de la question 1 de la partie IV.
7.2. Vérifier que satisfait aux hypothèses de la question 6 de la partie IV.
7.3. Résoudre alors les équations : et .

Fin de l'énoncé

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