N.B. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
PROBLEME
Notations et définitions
Dans tout le problème, et désignent deux entiers naturels non nuls. désigne l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients complexes. désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients complexes. désigne la matrice identité d'ordre .
L'ensemble des entiers compris entre 1 et sera noté .
On appellera matrice colonne d'ordre toute matrice complexe à lignes et 1 colonne. Ainsi, est l'ensemble des matrices colonnes d'ordre .
Soit une suite de matrices de . Pour et , on appelle le coefficient sur la -ième ligne et la -ième colonne de la matrice .
On dira qu'une telle suite converge vers la matrice de lorsque :
On notera dans ce cas . Par exemple, si on pose pour tout entier :
alors :
Préliminaire
On détermine dans ce préliminaire trois résultats qui seront utiles pour les questions 6 et 7 de la partie I.
Pour la question P.1, le détail des calculs devra figurer sur la copie. Pour les questions P.2 et P.3, on pourra faire usage de la calculatrice et ne mentionner que les résultats intermédiaires utiles.
On définit les trois matrices et par : (où ) et .
P. 1 - Donner les valeurs propres de et justifier que est diagonalisable.
P. 2 - Donner les valeurs propres de et justifier que est diagonalisable.
P. 3 - Justifier que est diagonalisable, et donner une matrice inversible , une matrice diagonale telles que . Déterminer .
Partie I
Généralités sur les suites matricielles. Etude du cas diagonalisable
1 - Soient et deux matrices de et soient et , deux suites de matrices de convergentes respectivement vers les matrices et , et soit . Prouver alors que la suite converge vers .
2 - Soit un entier naturel non nul et :
une suite de matrices de , convergente vers ;
une suite de matrices de , convergente vers .
Prouver alors que la suite est convergente vers .
3 - Soit une matrice de . Déduire du I. 2 que si est une suite de matrices de , convergente vers , et si est une matrice inversible d'ordre , alors la suite converge vers .
Prouver également que si et sont deux matrices colonnes d'ordre , alors la suite de matrices colonnes converge vers .
4 - On suppose, dans cette question 4 seulement, que est une matrice carrée diagonale d'ordre , de coefficients diagonaux (qui peuvent être complexes) :
Pour désigne la -ième puissance de :
On s'intéresse alors à la suite des puissances de .
4.1 - Prouver que si pour tout on a , alors la suite converge. Quelle est sa limite ?
4.2 - Prouver que s'il existe tel que , alors la suite ne converge pas.
4.3 - Soit un nombre complexe de module 1 tel que la suite de nombres complexes converge vers un nombre complexe .
4.3.1 - Justifier que .
4.3.2 - En remarquant que la suite converge aussi vers , montrer que .
4.3.3 - En déduire que la suite de matrices converge, si et seulement si :
5 - Montrer que si est une matrice carrée diagonalisable, dont chaque valeur propre vérifie , alors la suite converge vers la matrice nulle.
6 - Déterminer si les suites de matrices et convergent et donner leurs limites éventuelles (les sont les trois matrices définies dans la partie préliminaire). On pourra faire usage de la calculatrice.
7 - Les résultats de cette question 7 ne sont pas utilisés dans la suite du problème.
7.1 - Soit une matrice carrée diagonale d'ordre , de coefficients diagonaux . Montrer que la suite de matrices définie par : a une limite, notée , qu'on déterminera.
7.2 - Montrer que si est une matrice carrée diagonalisable avec , où est une matrice diagonale (d'ordre ) et , alors la suite définie par converge vers une matrice notée , et que : .
7.3 - Calculer où est définie dans le préliminaire (on pourra utiliser la calculatrice pour faire certains produits matriciels).
Partie II
Suites arithmético-géométriques matricielles
Etant données et , on définit par récurrence une suite de matrices colonnes d'ordre par :
On suppose de plus que 1 n 'est pas valeur propre de .
1 - Montrer que est inversible.
2 - Démontrer qu'il existe une unique matrice colonne , telle que .
3 - Prouver alors que :
4 - En déduire que si est diagonalisable et si toutes les valeurs propres de vérifient , alors :
Partie III
Application à la diffusion de la chaleur dans une tige
On considère, dans cette partie, une tige homogène découpée en petits segments de longueurs identiques, numérotés de 0 à .
On suppose les segments assez petits pour considérer la température comme constante sur chacun d'entre eux à un instant donné. On appelle la température à l'instant du segment numéroté avec . On fait les hypothèses suivantes :
Après un intervalle de temps (caractéristique de la longueur des segments et de la matière de la tige) la température à l'instant , d'un segment autre que les deux segments extrêmes, a pour température la moyenne des températures à l'instant des deux segments adjacents :
Le segment numéroté 0 est maintenu à la température de et le segment numéroté est maintenu à la température de :
On suppose enfin qu'à l'instant 0 le segment numéroté est à la température de et que tous les autres sont à la température de :
1 - Donner une matrice carrée d'ordre , et une matrice colonne tels que :
2 - Pour , on définit la matrice colonne par :
Justifier alors que pour tout entier naturel on a : . On suppose dans cette question.
3.1 - Ecrire dans l'un des langages de calcul formel du programme (MAPLE ou MATHEMATICA par exemple) une procédure permettant de calculer en fonction de q. On indiquera le langage utilisé.
3.2 - Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur numérique de . On donnera le résultat avec une précision de sur chaque coordonnée.
4 - Soit . On note la matrice colonne :
4.1 - Prouver que : .
On supposera par la suite que .
4.2 - Montrer que si est un réel tel que , alors .
4.3 - Réciproquement, donner les valeurs de pour lesquelles .
4.4 - En déduire que est diagonalisable et donner une matrice inversible et une matrice diagonale , telles que .
Justifier que les valeurs propres de appartiennent à .
5 - A l'aide de la partie II, justifier qu'il existe une unique matrice colonne telle que , puis que . Quelle interprétation physique pouvez-vous donner de ?
6 - Déterminer explicitement . Interprétez le résultat.
Partie IV
Etude de la suite des puissances d'une matrice réelle
désigne, pour toute la suite, une matrice carrée réelle d'ordre . On appelle ( ) la base canonique de . On munit de son produit scalaire usuel ; on note la norme de la matrice colonne et le produit scalaire des matrices colonnes et .
On notera que ( désigne la transposée de ).
1 - Montrer que la suite converge si et seulement si pour tout , la suite de matrices colonnes converge.
On pourra introduire les colonnes de la matrice .
2 - En déduire que la suite converge si et seulement si pour toute matrice colonne la suite de matrices colonnes converge.
3 -Démontrer que :
3.1 - S'il existe tel que , alors la suite converge vers la matrice nulle.
On pourra établir que .
3.2 - S'il existe tel que , alors la suite ne converge pas.
4 - Pour toute matrice colonne , on pose . Soit l'endomorphisme associé à . Montrer que :
5 - Justifier que est semblable à une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux seront notés .
6 - Prouver qu'il existe une base orthonormale de de sorte que pour tout vecteur de coordonnées dans B on ait :
En déduire que les sont tous positifs ou nuls. On pose désormais et . Prouver à l'aide de la question 3 que :
7.1 - Si , alors la suite converge vers la matrice nulle. Si , alors ne converge pas.
8 - On reprend la suite définie dans la partie II, et on suppose que . Montrer que 1 n'est pas valeur propre de et que pour tout entier on a : .
9 - On reprend les notations de la partie III, avec . Déterminer à l'aide de la majoration cidessus un entier tel que pour on ait . En déduire que pour et pour tout on a (les désignent les coordonnées de ). Interpréter ce résultat.
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