J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

CCINP Mathématiques 1 TSI 2007

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesIntégrales à paramètres
Logo ccinp
🔗 Explorer
Banque
CCINP
Année
2007
Filière
TSI
Matière
Maths
CCINP TSICCINP 2007TSI MathsMaths 2007
2025_08_29_85c23880b78e1bc65203g

Les calculatrices sont autorisées

NB. : Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations :

  • désigne l'ensemble des nombres réels.
  • désigne l'ensemble des nombres complexes.
  • désigne l'ensemble des fonctions continues de I dans K où K désigne ou .
  • désigne l'ensemble des fonctions de classe de I dans K où K désigne ou .
  • désigne l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à , à coefficients réels.
Convention : On convient d'identifier les fonctions polynômes au polynômes qui leur correspond.

Partie 1: Quelques résultats préliminaires

  1. On définit les fonctions et de dans respectivement par :
1.1) Étudier les variations des fonctions et , préciser leurs limites en .
En déduire le signe de chacune des fonctions sur .
1.2) On considère un repère orthonormal , du plan.
Représenter graphiquement les fonctions et dans ce repère.
2) On définit les suites et par :
Montrer que ces suites sont adjacentes.
On note leur limite commune, le réel est appelé constante d'Euler, qu'on ne cherchera pas à calculer.
3) Soit un entier naturel, on définit la fonction de dans par :
3.1) Montrer que la fonction est intégrable sur .
3.2) Montrer que la fonction est une fonction polynôme élément de .
Donner l'expression de dans la base ( )
3.3) Montrer que la famille est une base de .
Donner l'expression de dans cette base.
3.4) Calculer de deux façons différentes l'intégrale .
Pour entier naturel et entier compris entre 0 et n , on note : .
Déduire des deux expressions trouvées pour que :

Partie 2: Transformée de Laplace

Soit l'ensemble des fonctions élément de , telles que :
  • Pour tout réel strictement positif, est intégrable sur l'intervalle .
  • A chaque fonction on peut associer , et tels que :
  1. Soit et deux réels strictement positifs, calculer .
Montrer que la fonction logarithme est élément de .
5) Montrer que l'ensemble est un - espace vectoriel.
6) Soit un réel strictement positif.
Montrer que, si est élément de , alors la fonction définie de dans par , est intégrable sur .
On définit alors et on note la transformée de Laplace d'un élément de par :
  1. Montrer que l'application définie sur est une application linéaire.
  2. Si est élément de tel que soit élément de , calculer en fonction de et de .
  3. Soit un entier naturel, montrer que définie de dans par , est élément de . Soit un réel positif, on pose .
    Déterminer une relation de récurrence entre et .
    En déduire la transformée de Laplace de .
  4. Soit un réel et l'application définie de dans par .
    10.1) Montrer que est élément de .
    10.2) Calculer la transformée de Laplace de .
    10.3) En déduire les transformées de Laplace des fonctions définies de dans par :

Partie 3 : Transformée de Laplace de la fonction de Bessel

On définit la fonction de Bessel de dans par :
  1. Montrer que est élément de , exprimer et à l'aide d'une intégrale.
  2. Montrer que :
  1. Montrer que l'application est solution sur de l'équation différentielle :
  1. Montrer que l'application est élément de défini dans la partie 2 .
  2. Soit un réel strictement positif, on pose : .
    15.1) Montrer que : .
    15.2) Calculer l'intégrale . En déduire .
Indication : on peut faire le changement de variable .
16) On admet avoir le droit de permuter l'ordre d'intégration soit :
Calculer la transformée de Laplace de l'application .

Partie 4 : Transformée de Laplace de la fonction logarithme

  1. Montrer que la fonction définie de dans par est intégrable sur .
  2. Soit la suite de fonctions définies de dans par :
18.1) Montrer que :
En déduire que :
18.2) Pour réel strictement positif fixé, déterminer la limite de la suite .
On admet que :
  1. Soit un entier naturel, on note .
    19.1) Montrer l'existence de l'intégrale .
    19.2) Soit un entier naturel et un élément de , calculer l'intégrale , en déduire la converge de l'intégrale et calculer cette intégrale.
    19.3) Soient un entier naturel et un entier compris entre 0 et n , montrer que :
19.4) Utiliser le résultat de la question 3.4.) pour exprimer en fonction de défini dans la partie 1 question 2.
20) En déduire la valeur de l'intégrale en fonction de la constante d'Euler.
21) Montrer que la transformée de Laplace de la fonction logarithme est définie sur et calculer sa transformée de Laplace.
CCINP Mathématiques 1 TSI 2007 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa