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CCINP Mathématiques 1 TSI 2008

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionTopologie/EVN
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Banque
CCINP
Année
2008
Filière
TSI
Matière
Maths
CCINP TSICCINP 2008TSI MathsMaths 2008
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Les calculatrices sont autorisées

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

PROBLEME

Les parties I, II et III sont totalement indépendantes. La partie IV utilise certains résultats des parties I, II et III.

Notations

On note l'espace vectoriel des matrices carrées à 3 lignes à coefficients dans . On appelle vecteur colonne de toute matrice à 3 lignes et 1 colonne à coefficients dans . On note la transposée de la matrice .

Partie I

Un exemple numérique

Dans cette partie, on se propose d'étudier le système linéaire suivant :
  1. Montrer que, si on pose , le système s'écrit sous forme matricielle avec une matrice de et un vecteur colonne que l'on déterminera.
  2. Calculer . On pourra utiliser la calculatrice.
La matrice est-elle inversible?
3. Déterminer l'inverse de . On pourra utiliser la calculatrice.
4. Montrer que le système ( ) n'admet qu'une seule solution que l'on déterminera.
5. a. Montrer que le système est équivalent au système avec un vecteur colonne de que l'on déterminera et la matrice
b. Justifier sans calcul qu'il existe une matrice orthogonale et une matrice diagonale telles que .
c. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres associés de . En déduire les matrices et .
d. Pour tout entier naturel , déterminer en fonction de et de la matrice .
On définit la suite de vecteurs colonnes par et la relation de récurrence
On appelle et les composantes de c'est-à-dire . On pose enfin .
6. Calculer les vecteurs colonnes et .
7. Ecrire un programme dans le langage de Maple ou Mathematica qui calcule le vecteur colonne .
8. a. En utilisant le fait que vérifie , montrer que pour tout entier naturel , puis que .
b. Soit un vecteur colonne de . On note sa norme euclidienne. Montrer que pour tout entier naturel .
c. Exprimer en fonction de et puis montrer que et .
d. Déduire des questions précédentes que puis que .
9. Prouver alors les trois inégalités :
  1. Quelles sont les limites respectives des suites et ?
  2. Déterminer une valeur de à partir de laquelle le vecteur colonne est une valeur approchée de la solution exacte à près, c'est-à-dire tel que .

Partie II

Un espace de matrices

Pour , on considère les matrices
On définit l'ensemble .
On note la matrice identité.
  1. Montrer que est un espace vectoriel dont on déterminera la dimension.
  2. Montrer que est stable par produit matriciel c'est-à-dire que pour toutes matrices et de , le produit appartient à .
On suppose désormais que .
3. Justifier sans calcul que les matrices et sont diagonalisables.
4. Quel est le rang de la matrice ? En déduire la dimension du sous-espace vectoriel .
5. Déterminer un réel tel que .
6. En déduire une valeur propre de et la dimension du sous-espace propre associé.
7. A l'aide de la trace, déterminer l'autre valeur propre de .

Partie III
Une norme matricielle

Si est une matrice de , on note pour tout indice de .
Autrement dit, est la somme des valeurs absolues des coefficients de la ligne de la matrice . Puis, on définit le réel positif par .
Si est un vecteur colonne de alors on définit la norme infinie du vecteur par .
  1. a. Justifier que si alors .
    b. Justifier que si alors .
  2. a. On note avec . Donner les expressions de et en fonction de et des coefficients de la matrice .
    b. Montrer que . Déterminer de même une inégalité pour et pour .
    c. En déduire que puis que, si désigne une matrice de alors .

Partie IV

La méthode de Jacobi

On considère le système linéaire
avec pour tout et pour tout et .
On suppose que le système admet une unique solution notée . On suppose de plus que et et .
  1. Montrer que le système est équivalent au système suivant:
  1. Montrer que, si on pose , le système peut se mettre sous la forme matricielle avec une matrice de et un vecteur colonne de que l'on déterminera.
Pour un système linéaire comportant un grand nombre d'équations et d'inconnues, les méthodes de résolution directe (comme celle du pivot de Gauss) aboutissant à une solution exacte deviennent très gourmandes en temps de calcul. Il est alors plus judicieux de calculer une solution approchée à l'aide d'une suite définie par récurrence convergeant vers la solution exacte, comme cela se fait dans la méthode de Jacobi que nous allons nous contenter d'illustrer sur un système .
On définit ainsi la suite de vecteurs de par la donnée d'un vecteur initial et la relation de récurrence
On définit aussi la suite par . Le vecteur permet d'apprécier l'erreur d'approximation entre la solution approchée et la solution exacte .
3. En utilisant le fait que est la solution de l'équation , montrer que pour tout entier naturel puis .
4. En déduire que pour tout entier naturel .
5. En déduire une condition suffisante sur la matrice pour que la suite converge vers 0 .
6. On pose pour tout entier naturel et .
a. Montrer les trois inégalités :
b. Lorsque la condition est vérifiée, montrer que les suites et convergent respectivement vers et .
7. La condition est-elle vérifiée par la matrice de la partie ?
8. On revient au cas général. On suppose dans cette question que la matrice est diagonalisable : il existe donc une matrice diagonale et une matrice inversible telles que . On peut montrer alors, comme dans la partie I que, pour tout entier naturel .
a. Montrer que .
b. En déduire une condition suffisante pour que la suite converge vers 0 .
c. La condition ( ) est-elle vérifiée par la matrice de la partie ?
9. Dans cette question, on reprend l'exemple de la matrice avec définie à la partie II. On a vu que cette matrice est diagonalisable. Il existe donc une matrice diagonale et une matrice inversible telles que .
a. Calculer et .
b. La matrice vérifie-t-elle la condition ? la condition ?
c. Dessiner dans le plan l'ensemble des couples ( ) de qui vérifient la condition et ceux qui vérifient la condition .
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