MATHEMATIQUES 1

Exercice

1. (a) Justifier la convergence de la série de terme général .
   (b) Calculer la somme de la série : .
2. On pose .
   (a) Justifier l'existence de pour et tout réel.
   (b) Déduire de la question précédente l'égalité :

Problème

Première partie

1. Résoudre, sur l'intervalle [, l'équation différentielle : .
2. En utilisant la méthode de variation de la constante, déterminer, sur l'intervalle , la solution générale de l'équation différentielle :

Deuxième partie

1. (a) Déterminer une équation cartésienne de la courbe ( ), formée de l'ensemble des points de coordonnées , tels que : .
   (b) Écrire cette équation en coordonnées polaires : .
2. (a) En posant , déterminer l'équation vérifiée par .
   (b) Discuter l'existence et le signe des solutions réelles de cette équation en . Préciser en particulier une condition portant sur et pour que cette équation admette deux racines positives.
   Indication : il n'est pas utile de calculer explicitement les racines, on connaît leur somme et leur produit.
   (c) Montrer que, dans le cas où cette relation est satisfaite, la courbe ( ) est la réunion de 4 courbes admettant une équation polaire de la forme étant une fonction. Déterminer les fonctions .
   (d) Déterminer les diverses symétries de la courbe ( ) et en déduire un intervalle d'étude qui permet d'obtenir toute la courbe par des opérations géométriques que l'on précisera. Le tracé n'est pas demandé.
3. (a) Vérifier que dans le cas particulier où , une équation polaire de la courbe ( ) est : .
   Étudier les diverses symétries de la courbe.
   (b) Donner une allure de la courbe dans le cas particulier où .

Troisième partie

1. (a) Exprimer les coordonnées d'un point en fonction de ses coordonnées cylindriques .
   (b) On suppose que . Exprimer , en fonction de et .
   (c) Exprimer les vecteurs et puis les vecteurs et en fonction de et .
   (d) Que peut-on dire du repère ?

Quatrième partie

1. (a) L'arc paramétré est défini en coordonnées cylindriques par une application d'un intervalle de à valeurs dans .
   Donner une condition nécessaire et suffisante pour que le point appartienne à la surface ( ).
   On désigne par la courbe formée par l'ensemble des images de l'arc paramétré .
   (b) On suppose que l'arc paramétré est de classe au moins (ce qui signifie que les fonctions et sont de classe et que la courbe est tracée sur la surface . Soit un point régulier de la courbe. Démontrer que la tangente en à la courbe ( ) est contenue dans le plan tangent en à la surface ( ).
   (c) Retrouver le résultat de la question 3.(d) de la troisième partie à l'aide de la question précédente.
2. On suppose, jusqu'à la fin du problème, que est définie par un arc paramétré de classe au moins.
   On suppose de plus que la courbe est définie par une fonction , c'est-à-dire, dans le repère cylindrique, par l'arc paramétré : . Cette courbe est donc tracée sur la surface .
   Donner une expression du vecteur dans le repère cylindrique, puis des vecteurs et .
3. En tout point de l'arc paramétré tel que les vecteurs et soient linéairement indépendants, on appelle plan osculateur à la courbe ( ) en ce point, le plan affine : , qui sera noté .
   On appelle ligne asymptotique de la surface une courbe tracée sur telle qu'en tout point de la courbe, le plan tangent à la surface coïncide avec le plan osculateur à la courbe.
   (a) À quelle condition nécessaire et suffisante, portant sur les vecteurs et , la courbe est-elle une ligne asymptotique de ?
   (b) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que la courbe ( ) soit une ligne asymptotique de , sous forme d'une équation différentielle du premier ordre vérifiée par la fontion .
   (c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la courbe soit une ligne asymptotique de ( ) portant sur les vecteurs et . Retrouver alors l'équation différentielle précédente.
4. Déterminer les projections sur le plan horizontal des lignes asymptotiques de ( ).

Fin de l'énoncé