CCINP Mathématiques 1 TSI 2011

Durée : 4 heures

Cette épreuve comporte trois exercices totalement indépendants entre eux et qui peuvent être traités dans un ordre quelconque.

La question 4. de cet exercice est indépendante des trois questions qui précèdent.
La notation th employée à la question 4.c. désigne la fonction tangente hyperbolique.

Soit l'unique fonction impaire admettant pour période et telle que : .

a. Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction .
b. En déduire : .

On énoncera très précisément le théorème utilisé.
c. En utilisant l'égalité établie à la question précédente 3.b., déterminer la somme de la série .
d. Appliquer la formule de Parseval à la fonction et en déduire la somme de la série .
4. Soit un réel strictement positif fixé.
a. Montrer que la fonction est intégrable sur .
b. Soit un entier naturel quelconque.

Montrer que : .
c. En déduire : .

On se propose d'étudier quelques propriétés de la fonction numérique définie sur par la relation : .

On ne cherchera pas à calculer l'intégrale définissant .

En déduire : .
4.
a. En utilisant l'inégalité des accroissements finis, déterminer un réel positif tel que : .
b. Soit la fonction numérique définie sur par la relation :
.
Montrer que est bornée sur .
c. Montrer finalement : .

Indication : remarquer que pour strictement positif, .
5. Dans cette question, on se propose de déterminer une valeur approchée à près de .

On introduit la fonction définie sur par la relation : .
On définit également deux suites et en posant:
et .
a. Vérifier que la fonction est croissante sur le segment .
b. Donner une interprétation géométrique des réels et .
c. Montrer que : .
d. Déduire de ce qui précède que: .
e. Déterminer une valeur explicite de , notée , telle que soit une valeur approchée de à près.
En déduire une valeur décimale approchée de à près de la forme , où désigne un entier naturel. On expliquera la démarche utilisée.

Dans cet exercice, la notation employée à la question 3.b. signifie «limite de la fonction lorsque tend vers 1 par valeurs inférieures .

Rappeler sans démonstration une expression simple de et en déduire une expression simple de en citant précisément le théorème de cours utilisé.
3.
a. Montrer que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle .
b. Soit un élément quelconque de l'intervalle .

Minorer et en déduire: .
c. Donner l'allure de la courbe représentative de la restriction de la fonction à l'intervalle [ 0,1 [.
On précisera en particulier la tangente à l'origine et la position de la courbe par rapport à cette tangente.
4.
a. Montrer qu'il existe un unique réel possédant les deux propriétés suivantes :
est élément de l'intervalle [ 0,1 [ et .
b. Calculer et en déduire : .
c. A l'aide de votre calculatrice, déterminer explicitement le plus petit entier naturel non nul tel que : .
Que peut-on en déduire pour ?
5.
a. Montrer que : .
b. En utilisant le critère spécial relatif aux séries alternées, montrer que la série est convergente.
c. Montrer que la série n'est pas absolument convergente et déterminer le rayon de convergence de la série entière .
d. Montrer enfin que la fonction possède une limite finie lorsque tend vers -1 par valeurs supérieures. On citera très précisément le théorème utilisé.