CCINP Mathématiques 2 MP 2002

Dans tout ce problème, les espaces vectoriels seront des -espaces vectoriels. On appelle algèbre tout -espace vectoriel qui est muni d'une opération interne nommée multiplication ou produit. Cette multiplication est associative, et vérifie la propriété de distributivité :

ainsi que :

On suppose de plus qu'il existe un élément noté 1 ou et appelé élément neutre pour le produit, tel que :

Enfin si cette multiplication est commutative, l'algèbre est dite commutative. La dimension d'une algèbre est sa dimension en tant qu'espace vectoriel. Une sous-algèbre de est un sous-ensemble non vide de qui est lui-même une algèbre (pour les mêmes opérations) et qui possède le même élément neutre que . Pour que soit une sous-algèbre de , il suffit que ce soit un sous-espace vectoriel de , qu'il contienne 1 et que:

On appelle morphisme d'algèbre entre deux algèbres et B , toute application linéaire f de dans qui vérifie en plus:

Un morphisme d'algèbre qui est une bijection est appelé isomorphisme d'algèbre. On vérifie alors que son application réciproque est également un morphisme d'algèbre. On dira que deux algèbres sont isomorphes s'il existe un isomorphisme d'algèbre entre les deux. Dans tout le problème, n désigne un entier strictement positif. Dans ce cas, est l'espace vectoriel des matrices carrées à n lignes et n colonnes et à coefficients réels; c'est une algèbre pour les opérations habituelles. L'élément neutre pour le produit est la matrice de l'identité, notée . La trace d'une matrice est:

C'est la somme des éléments diagonaux de la matrice . Une matrice scalaire est une matrice de la forme , où est un réel. Une matrice diagonale est une matrice dont les éléments non diagonaux sont tous nuls. L'ensemble des matrices scalaires et l'ensemble des matrices diagonales forment chacun une sous-algèbre de .
Ce problème étudie certaines propriétés des algèbres, et, en particulier, s'intéresse aux algèbres qui sont des corps, c'est-à-dire dans lesquelles tout élément non nul admet un inverse pour le produit.

) Soit une matrice quelconque de . Vérifier que:

) Soit une matrice non scalaire; on note l'ensemble

Vérifier que est une algèbre de dimension deux, sous-algèbre de .
) Montrer que contient une matrice telle que si, et seulement si, .
) Vérifier qu'alors et forment une base de et en déduire un isomorphisme d'algèbre entre et le corps des nombres complexes.
) On suppose que est non scalaire et vérifie: . Déterminer toutes les matrices de telles que , et en déduire que n'est pas un corps.
) Soit une matrice non scalaire de . On lui associe l'algèbre comme dans I.2. Démontrer que si et sont semblables, et sont des algèbres isomorphes.
) On suppose que est telle que: Vérifier que est diagonalisable de valeurs propres distinctes. En déduire que est isomorphe à l'algèbre des matrices diagonales. Est-ce que est un corps?

Soit une algèbre de dimension finie .
) Soit un élément de , démontrer que l'application , définie par:

est un endomorphisme de l'espace vectoriel .
) On note une base de . désigne la matrice de l'endomorphisme , dans la base . Démontrer que l'application :

est un morphisme injectif d'algèbres. Vérifier que est une sous-algèbre de et en déduire que est isomorphe à une sous-algèbre de .
) On suppose que , corps des nombres complexes. On munit , considéré comme -espace vectoriel, de la base . Pour tout nombre complexe , ( et réels), écrire la matrice .
) Soit maintenant une sous-algèbre de . On s'intéresse à quelques cas où on peut affirmer que est, ou n'est pas, un corps.
a) On suppose que contient une matrice non scalaire qui a une valeur propre réelle . Montrer que ne peut pas être un corps. On utilisera une matrice bien choisie, combinaison linéaire de et de .
b) En déduire que si contient une matrice diagonalisable ou trigonalisable non scalaire, elle ne peut pas être un corps.
c) On suppose que est intègre, c'est-à-dire que:

Montrer que, si est une matrice non nulle de , l'application est un isomorphisme de l'espace vectoriel . En déduire que est un corps.

On suppose qu'il existe deux matrices et de telles que :

) Démontrer que ne peut pas être impair.
) Démontrer que le sous-espace vectoriel engendré par les matrices et est une sous-algèbre de
) Lorsque et sont des réels, calculer le produit:

) En déduire:
(a) que les quatre matrices et sont indépendantes et forment une base de ;
(b) que est un corps.
) On suppose dans toute la suite du problème que et, en notant la matrice et 0 la matrice nulle de , on définit les matrices et de par :

On pose également .
a) Vérifier que les matrices et satisfont la condition (*). On appellera donc le sous- espace vectoriel de engendré par et . Ses éléments sont appelés quaternions. La base ( ) de sera notée .
b) Soit une matrice non nulle de , vérifier que ; quel lien y a t-il entre et ?

) On appelle quaternion pur un élément de tel que . Vérifier que l'ensemble des quaternions purs est un -espace vectoriel de dimension trois et de base . On le note Ł. Est-ce une sous-algèbre de ?
) On munit L de la structure d'espace vectoriel euclidien telle que la base soit orthonormée. Le produit scalaire de deux éléments et de Ł est noté ( ), la norme de s'écrit . Vérifier que:

) Montrer qu'un quaternion est pur si, et seulement si, son carré est une matrice scalaire de la forme où est un réel négatif.
) Soit un isomorphisme d'algèbre de dans lui-même. Démontrer qu'il transforme tout quaternion pur en un quaternion pur de même norme, et que la restriction de à L est un endomorphisme orthogonal.
) Soient et deux quaternions purs. On veut démontrer que si et ont même norme, alors il existe , non nulle, telle que: .
a) Commencer par examiner le cas où et sont colinéaires.
b) On suppose maintenant que et ne sont pas colinéaires. Vérifier que si et ont même norme : et en déduire une matrice non nulle telle que .
) Montrer qu'alors, si on écrit , avec réel et est orthogonal à et à .
) En déduire que tout isomorphisme d'algèbre de dans lui-même est défini par:

où est un élément non nul de . On pourra observer qu'un tel isomorphisme est déterminé par l'image de et de , et commencer par chercher les isomorphismes qui laissent invariante.