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CCINP Mathématiques 2 MP 2003

Calculs des distances entre une matrice et certaines parties de Mn(R)

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionTopologie/EVN
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CCINP
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2003
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MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2003MP MathsMaths 2003
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de

Notations

Dans ce sujet, est un entier naturel non nul et on note :
: la -algèbre des matrices carrées réelles d'ordre .
: le -espace vectoriel des matrices à lignes et à une colonne.
Pour une matrice de est sa matrice transposée, rang son rang et sa trace.
: la matrice unité de .
: le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de .
: le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de .
: l'ensemble des matrices positives de c'est-à-dire des matrices de vérifiant : pour toute matrice .
: le groupe des matrices inversibles de .
: le groupe des matrices réelles orthogonales c'est-à-dire des matrices de vérifiant : .
Pour entier naturel, est l'ensemble des matrices de de rang supérieur ou égal à et est l'ensemble des matrices de de rang inférieur ou égal à .

Objectifs

Le but du sujet est de calculer la distance (par la norme de Schur définie à la question II.3.) d'une matrice à :
dans la partie II., et par le théorème de projection orthogonale,
dans la partie III., par le théorème de décomposition polaire,
dans la partie IV., par des notions de densité,
dans la partie V., par le théorème de Courant et Fischer.
La partie I. traite un exemple qui sera utilisé dans les différentes parties.
Remarque : dans le texte, le mot «positif» signifie «supérieur ou égal à 0 ».

I. Exercice préliminaire

  1. Soit la matrice de , on pose .
Diagonaliser la matrice et déterminer une matrice de et une matrice diagonale à termes tous positifs telles que .
2. On pose , montrer que la relation définit une matrice et calculer cette matrice.

II. Calcul de la distance de à et à

  1. Soit et deux matrices de , on pose .
Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur .
La norme associée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée : .
Dans tout le sujet, si est une partie non vide de , la distance d'une matrice de à la partie est le réel .
4. Montrer que et que cette somme directe est orthogonale.
5. Si est une matrice de , montrer que et déterminer de même .
6. Calculer où est la matrice exemple de la partie I .

III. Calcul de la distance de à

A. Théorème de la décomposition polaire

  1. Montrer qu'une matrice de appartient à si et seulement si toutes les valeurs propres de sont positives ou nulles.
  2. Si est une matrice de montrer que la matrice .
  3. Soit une matrice de , on suppose qu'il existe une matrice diagonale à termes positifs telle que . On note les matrices de qui forment les colonnes de la matrice .
    a. Pour tout couple ( ) d'entiers naturels compris entre 1 et , évaluer . En particulier, si est un entier pour lequel , que vaut ?
    b. Montrer que l'on peut trouver une base orthonormée ( ) de (par rapport au produit scalaire canonique de ) telle que, pour tout entier naturel entre 1 et .
    c. En déduire qu'il existe une matrice de telle que .
  4. Soit et deux matrices de vérifiant .
    a. Montrer qu'il existe une matrice diagonale à termes positifs et une matrice orthogonale telles que : .
    b. Montrer qu'il existe une matrice de telle que .
  5. Déduire des questions précédentes le théorème de décomposition polaire:
Pour toute matrice de , il existe une matrice de et une matrice de telles que .
(Remarque : on peut également établir l'unicité de la matrice de et même l'unicité de la matrice de si est de plus inversible dans cette décomposition mais ce ne sera pas utile pour la suite du problème).

B. Calcul de

  1. Montrer que, pour toute matrice de et pour toute matrice de , .
  2. Dans la suite de cette partie, soit une matrice de , soit et telles que ; il existe une matrice diagonale et une matrice de telles que .
    a. Montrer que, pour toute matrice de et en déduire que .
    b. Montrer que .
  3. On note .
    a. Montrer que pour toute matrice de .
    b. Montrer que pour toute matrice de .
    c. Conclure que .
  4. Montrer que .
  5. Calculer où est la matrice exemple de la partie I .

IV. Calcul de la distance de à

  1. Un résultat de densité.
    a. Soit un élément de , montrer qu'il existe un réel tel que pour tout réel vérifiant , la matrice est inversible.
    b. En déduire que est dense dans .
  2. Soit un élément de , déterminer, pour tout entier naturel .

V. Calcul de la distance de à

A. Théorème de Courant et Fischer

Soit une matrice de . On notera ses valeurs propres, on notera la matrice de vérifiant et les matrices de formant les colonnes de la matrice .
Si est un entier entre 1 et , on note l'ensemble des sous-espaces vectoriels de de dimension . Nous allons montrer que :
(théorème de Courant et Fischer).
19. Soit un vecteur de de coordonnées ( ) dans la base orthonormée de . Calculer en fonction des et ( compris entre 1 et ): et et pour entier entre 1 et .
20. Soit entier entre 1 et , on pose .
Montrer que pour tout non nul de et déterminer .
21. Soit ,
a. montrer que .
b. Si est un vecteur non nul de , montrer que .
22. Conclure.

B. Calcul de

Dans toute cette partie : A est une matrice de de rang et est un entier naturel, .
23. Montrer qu'il existe deux matrices et de et une matrice diagonale à termes positifs telles que . En déduire que le rang de la matrice est encore . (On pourra utiliser les résultats de la question 9.)
24. Si on note les valeurs propres de la matrice symétrique réelle de rang : et , si on pose , si pour on note la matrice de dont la -ième colonne est celle de la matrice de la question 23., tous les autres termes de étant nuls, on a clairement : .
Montrer alors qu'il existe une famille orthonormale ( ) de matrices de (pour le produit scalaire de ), toutes de rang un, et telles que .
25. Avec les notations de la question , on pose .
que puis que .
26. Soit une matrice de rang ( ), on note les valeurs propres de la matrice et on pose . Soit un entier compris entre 1 et .
a. Montrer que .
b. Soit un sous-espace vectoriel de de dimension , montrer que :
.
c. On note ( ) une base de formée de vecteurs propres de la matrice , le vecteur étant associé à la valeur propre de telle sorte que : et .
Montrer que .
d. En déduire que .
27. En déduire .
28. Calculer, pour où est la matrice exemple de la partie I .
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