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CCINP Mathématiques 2 MP 2007

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVNGéométriePolynômes et fractionsAlgèbre linéaire
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CCINP
Année
2007
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2007MP MathsMaths 2007
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Groupes d'isométries sur

Notations

Dans ce sujet, est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et on note :
  • El'espace vectoriel et sa base canonique
  • le produit scalaire canonique sur si et sont deux vecteurs de , on a où et sont les matrices colonnes des vecteurs et dans la base ( est donc une base orthonormale pour )
  • la -algèbre des endomorphismes de
  • ( le groupe des automorphismes de
  • le -espace vectoriel des matrices à lignes et une colonne
  • la -algèbre des matrices carrées réelles de taille
  • le groupe des matrices inversibles de
  • pour une matrice de est sa matrice transposée
  • le groupe des matrices orthogonales, c'est-à-dire des matrices de vérifiant où est la matrice unité de
  • l'ensemble des matrices symétriques définies positives de , c'est-à-dire des matrices de vérifiant : pour toute matrice non nulle, .
Si sont des réels, on note la matrice diagonale de qui admet pour coefficients diagonaux les réels dans cet ordre.
Si est un réel supérieur ou égal à 1 , on note la norme sur :
si .
On note la norme infinie sur : si .
Une norme sur est dite euclidienne s'il existe un produit scalaire sur tel que pour tout .

Objectifs

Si est une norme sur , on dit qu'un endomorphisme est une -isométrie si pour tout .
On note l'ensemble des -isométries.
L'objectif du problème est de déterminer le nombre d'éléments de dans le cas des normes euclidiennes puis des normes .

I. Description des normes euclidiennes

1. Identité du parallélogramme

a. Montrer que si est une norme euclidienne alors elle vérifie l'identité du parallélogramme, c'est-à-dire pour tous vecteurs et de , on a
.
En déduire que la norme n'est pas euclidienne.
b. Justifier que la norme est euclidienne puis montrer que pour , la norme n'est pas euclidienne.
2. Soit .
Si et sont deux vecteurs de , on note et les matrices colonnes associées. Montrer que si l'on pose , alors définit un produit scalaire sur .
3. Soit un produit scalaire sur et la matrice de coefficients . Justifier que pour tous vecteurs et de et que .
On a donc montré que .
Toute norme euclidienne peut donc s'écrire sous la forme avec où désigne la matrice colonne associée à .

II. Quelques généralités et exemples

Soit une norme sur .
4. Montrer que ( ) est un sous-groupe de .

5. Une caractérisation géométrique des -isométries

On note , la sphère unité pour .
Soit . Montrer que est une -isométrie si et seulement si .
Le groupe des -isométries est donc l'ensemble des endomorphismes laissant stable la sphère unité.
6. Dans cette question uniquement et donc .
On note la symétrie orthogonale par rapport à la droite où est la base canonique de et la rotation vectorielle d'angle .
Les endomorphismes et sont-ils des -isométries?
7. Dans cette question uniquement et donc .
Si , on pose , ce qui définit une forme quadratique .
a. On note , déterminer une matrice symétrique , telle que .
b. Déterminer une matrice et une matrice diagonale telles que .
c. Justifier alors que l'application est une norme euclidienne sur .
d. Déterminer la nature géométrique de la quadrique , la sphère unité pour la norme et en donner une équation simple dans une nouvelle base.
e. Justifier que est une surface de révolution, préciser un vecteur qui dirige son axe.
f. Déduire de la question , par une considération géométrique, que a une infinité d'éléments.

III.Étude de lorsque est une norme euclidienne

Si , on note la matrice de dans la base .
Si est une norme, on note . L'ensemble ISOM est par construction un groupe isomorphe à , c'est «sa version matricielle».

8. Caractérisation matricielle des isométries euclidiennes

a. Soit la norme euclidienne associée et le produit scalaire associé. Soit .
Montrer que est une -isométrie si et seulement si pour tous vecteurs et de , on a .
b. En déduire que est une -isométrie si et seulement si sa matrice dans vérifie .
9. Reconnaître alors . Que peut-on dire du nombre d'éléments de ? Justifier votre réponse.

10. Une application des polynômes interpolateurs

désigne le -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à .
On se donne réels .
On considère l'application linéaire de vers définie par
.
a. Déterminer le noyau de . En déduire que pour tous réels , il existe un unique polynôme de tel que pour tout (un tel polynôme est appelé polynôme interpolateur).
b. Application : soit un entier naturel non nul et des réels strictement positifs, on pose et . Montrer qu'il existe un polynôme , à coefficients réels, tel que .

11. Racine carrée dans

a. Soit . Déterminer une matrice telle que . On dit que est une racine carrée de .
b. Soit une autre racine carrée de . Montrer qu'il existe un polynôme , à coefficients réels, tel que . En déduire que et commutent.
c. Montrer que la somme de deux matrices symétriques définies positives est une matrice inversible.
d. Déduire des questions précédentes que (on pourra calculer ).
Désormais, on note l'unique racine carrée dans de .

12. Étude du groupe d'isométrie pour une norme euclidienne

Soit une norme euclidienne. Il existe donc une matrice telle que pour tout où est le vecteur colonne associée à .
a. Montrer que si , la matrice appartient à .
b. Montrer que l'application de dans définie par est une bijection.
Le groupe d'isométrie d'une norme euclidienne est-il fini?

IV.Étude du cardinal de Isom(p)

Dans cette partie est un réel strictement supérieur à 1 , on appelle exposant conjugué de l'unique réel tel que .
Pour alléger l'écriture, une -isométrie désigne une isométrie pour la norme et on note le groupe des -isométries.
Si désigne l'adjoint de pour . On rappelle que , est caractérisé par l'égalité suivante : pour tout .

13. Endomorphismes de permutation signée

désigne le groupe des permutations de l'ensemble .
Soit et . On note l'endomorphisme de qui vérifie pour tout .
a. Montrer que est une -isométrie.
b. Écrire la matrice de dans la base canonique dans le cas où et .

14. Inégalité de Holdër

a. Montrer que pour tous réels et positifs ou nuls, on a . On pourra utiliser la fonction logarithme népérien.
b. En déduire que pour tous vecteurs et de , on a . Ce résultat s'appelle l'inégalité de Holdër (on pourra d'abord démontrer l'inégalité lorsque ).
c. Que devient l'inégalité si ?
Dans toute la suite, désigne une -isométrie. On note les coefficients de la matrice .
15. Montrer que pour tout . En déduire la valeur de .

16. Une formule clé de dualité

Soit . On note .
a. Justifier l'existence du réel .
b. Justifier que .
Soit ; si , on pose où désigne le signe de et si , on pose . On définit ainsi un vecteur .
Montrer que puis montrer l'égalité suivante : .
17. En déduire que si est une -isométrie, est une -isométrie. Donner alors, en justifiant, la valeur de .
18. On suppose de plus que .
a. Soient des réels dans vérifiant . Montrer avec soin que pour tout ne prend qu'un nombre fini de valeurs à déterminer.
b. En déduire que pour tout et dans ne peut prendre que 2 valeurs différentes que l'on précisera (on rappelle que les sont les coefficients de la matrice d'une -isométrie).
19. Conclusion
Montrer alors que lorsque est un groupe fini dont on déterminera le cardinal. On remarquera en particulier que ce cardinal est indépendant de .
Commentaire : Les -isométries pour sont seulement en nombre fini, contrairement aux isométries euclidiennes qui forment un groupe infini mais compact (pas très difficile à montrer). Sur , la géométrie euclidienne est donc plus riche que celle des normes pour 。
Fin de l'énoncé
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