J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

CCINP Mathématiques 2 MP 2008

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéduction
Logo ccinp
🔗 Explorer
Banque
CCINP
Année
2008
Filière
MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2008MP MathsMaths 2008
2025_08_29_56e2da947715ebdb021fg

Les calculatrices sont autorisées.

NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

MATRICES DONT LES VALEURS PROPRES SONT SUR LA DIAGONALE

Les matrices diagonales et les matrices triangulaires sont des exemples triviaux de matrices ayant leurs valeurs propres sur la diagonale. Ce problème s'intéresse aux matrices vérifiant cette particularité.
Dans ce problème, toutes les matrices sont à coefficients réels et est un entier, .
On dira qu'une matrice de est une matrice à diagonale propre si son polynôme caractéristique est scindé sur et si ses termes diagonaux sont ses valeurs propres avec le même ordre de multiplicité, c'est-à-dire si le polynôme caractéristique de est
On pourra noter en abrégé : est une MDP pour est une matrice à diagonale propre. On notera l'ensemble des matrices de à diagonale propre.

I. EXEMPLES

  1. Soient un réel et .
    (a) Calculer, en donnant le détail des calculs, le polynôme caractéristique de la matrice . Démontrer que, pour tout , la matrice est une matrice à diagonale propre.
    (b) Quelles sont les valeurs de pour lesquelles la matrice est diagonalisable ?
  2. On considère la matrice . Cette matrice antisymétrique est-elle une matrice à diagonale propre?
  3. Cas
Déterminer puis montrer que est une partie fermée de .

II. TEST DANS LE CAS

  1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice à diagonale propre soit inversible. Donner un exemple de matrice à diagonale propre (non diagonale) de , inversible et telle que est également une matrice à diagonale propre. On donnera .
  2. Soit une matrice de , démontrer que est une matrice à diagonale propre si et seulement si, elle vérifie les deux propriétés suivantes :
  1. Utilisation de la calculatrice
    (a) Écrire un algorithme en français qui, à partir d'une matrice , teste si la matrice est ou n'est pas une matrice à diagonale propre. On considère que l'algorithme suppose connu le calcul du déterminant.
    (b) Écrire ensuite cet algorithme sur la calculatrice (il n'est pas demandé d'écrire sur la copie le programme en langage calculatrice). Parmi les matrices suivantes, indiquer les matrices à diagonale propre :
(c) Conjecturer une condition nécessaire et suffisante sur les produits
pour qu'une matrice à diagonale propre inversible soit telle que soit également une matrice à diagonale propre (on demande juste de donner cette conjecture sans chercher à la prouver).

III. EXEMPLES DE MATRICES PAR BLOCS

  1. Si est une matrice de par blocs (les matrices et étant des matrices carrées), démontrer que
(on pourra utiliser les matrices par blocs et en donnant des précisions sur les tailles des matrices qui interviennent).
8. Donner un exemple d'une matrice à diagonale propre de (matrice ) dans chacun des cas suivants :
(a) La matrice contient treize réels non nuls (on expliquera brièvement la démarche).
(b) où les matrices et sont toutes des matrices de ne contenant aucun terme nul (on expliquera brièvement la démarche).

IV. QUELQUES PROPRIÉTÉS

  1. Si est une matrice de à diagonale propre, démontrer que, pour tout couple de réels, les matrices et les matrices sont encore des matrices à diagonale propre.
  2. Si on note l'ensemble des matrices à diagonale propre inversibles, démontrer que est dense dans .
  3. Matrices trigonalisables
    (a) Une matrice trigonalisable est-elle nécessairement une matrice à diagonale propre?
    (b) Justifier qu'une matrice à diagonale propre est trigonalisable.
    (c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de soit semblable à une matrice à diagonale propre.
  4. Démontrer que toute matrice de est somme de deux matrices à diagonale propre. est-il un sous-espace vectoriel de ?

V. MATRICES SYMÉTRIQUES ET MATRICES ANTISYMÉTRIQUES

On notera le sous-espace vectoriel de formé des matrices symétriques et le sousespace vectoriel de formé des matrices antisymétriques.
13. Question préliminaire
Soit une matrice de , déterminer .
14. Matrices symétriques à diagonale propre
(a) Soit une matrice de , symétrique dont les valeurs propres sont notées .
Démontrer que .
(b) Déterminer l'ensemble des matrices symétriques réelles à diagonale propre.
15. Matrices antisymétriques à diagonale propre
Soit une matrice antisymétrique de à diagonale propre.
(a) Démontrer que et calculer .
(b) Justifier que la matrice est diagonalisable puis que .
(c) Conclure que est la matrice nulle.

VI. DIMENSION MAXIMALE D'UN ESPACE VECTORIEL INCLUS DANS

  1. Question préliminaire
Indiquer la dimension de (on ne demande aucune démonstration, la réponse suffit).
17. Soit un sous-espace vectoriel de tel que l'on ait .
Démontrer que
pour cela on pourra utiliser .
Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de vérifiant ?
18. Déterminer un sous-espace vectoriel de vérifiant , de dimension maximale, mais tel que ne soit pas constitué uniquement de matrices triangulaires.

Fin de l'énoncé

CCINP Mathématiques 2 MP 2008 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa