CCINP Mathématiques 2 MP 2012

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème qui sont indépendants.

Dans tout le problème, est un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Cet entier est quelconque sauf dans la partie I, où il est égal à 2 .
On note l'algèbre des matrices carrées d'ordre à coefficients réels, ( ) sa base canonique ( et ) et sa matrice unité (tous les coefficients de sont nuls, sauf celui situé à la -ème ligne et à la -ième colonne, qui vaut 1 ).
On note l'algèbre des polynômes à coefficients réels.
Dans tout le problème, est une matrice quelconque de et l'endomorphisme de canoniquement associé à la matrice .
Pour tout , on note . L'ensemble des matrices pour tout est noté .

On dit que annule lorsque ce qui équivaut à . On appelle polynôme minimal de la matrice le polynôme minimal de l'endomorphisme ; c'est donc le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule .

On note l'application de dans définie par :

L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés des éléments propres de . Les parties I et II étudient la diagonalisabilité de , les parties III et IV en étudient les vecteurs propres. Les quatre parties sont indépendantes.

Dans toute cette partie, on prendra .

Dans la suite de cette partie, on pose .
2. Donner la matrice de dans la base ( ) de .

Dans la suite de cette partie, on suppose que (c'est-à-dire que pour tout ).
3. Donner le polynôme caractéristique de sous forme factorisée (on pourra utiliser la calculatrice).
4. En déduire que est diagonalisable si et seulement si .
5. Démontrer que est diagonalisable si et seulement si est diagonalisable.

On note la base canonique de .
6. On suppose dans cette question que est diagonalisable.

On note une base de vecteurs propres de (défini au début du problème) et, pour tout entier tel que la valeur propre associée au vecteur . On note alors la matrice de passage de la base à la base et .
Enfin, pour tout couple d'entiers tels que et , on pose :

(a) Exprimer, pour tout couple , la matrice en fonction de la matrice et des réels et .
(b) Démontrer que, pour tout couple est un vecteur propre de .
(c) En déduire que est diagonalisable.
7. On suppose dans cette question que est diagonalisable en tant qu'endomorphisme de .
On note une base de vecteurs propres de et, pour tout couple la valeur propre associée à .
(a) Dans cette question, on considère comme une matrice à coefficients complexes et comme un endomorphisme de (défini par pour tout .
i. Justifier que toutes les valeurs propres de sont réelles.
ii. Soit . Justifier que si est une valeur propre de , alors est aussi une valeur propre de .
iii. Soit . On suppose que et sont deux valeurs propres de la matrice . On considère alors et , tels que et .

En calculant , démontrer que est une valeur propre de .
(b) En déduire que la matrice a au moins une valeur propre réelle.

On note une valeur propre réelle de et une matrice colonne telle que .
(c) Démontrer que, pour tout couple , il existe un réel , que l'on exprimera en fonction de et , tel que .
(d) En déduire que est diagonalisable.

Soit le degré du polynôme minimal de .
8. Démontrer que la famille ( ) est une base de .
9. Vérifier que est inclus dans et en déduire une minoration de .
10. Un cas d'égalité

On suppose que l'endomorphisme (défini au début du problème) est nilpotent d'indice (c'est-à-dire que et ). On considère un vecteur de tel que et, pour tout entier tel que , on pose .
(a) Démontrer que la famille est une base de .
(b) Soit et l'endomorphisme de canoniquement associé à . Démontrer que si alors .
(c) En déduire .
11. Cas où u est diagonalisable

On suppose que est diagonalisable. On note les valeurs propres distinctes de et, pour tout entier tel que le sous-espace propre associé à la valeur propre . On note la dimension de cet espace propre.
(a) Soit et l'endomorphisme de canoniquement associé à . Démontrer que si et seulement si, pour tout entier tel que est stable par c'est-à-dire .
(b) En déduire que si et seulement si, la matrice de , dans une base adaptée à la décomposition de en somme directe des sous-espaces propres de , a une forme que l'on précisera.
(c) Préciser la dimension de .
(d) Lorsque , donner toutes les valeurs possibles pour cette dimension en envisageant les différentes valeurs possibles de et des (on ne demande pas de justification).

Dans cette partie, est une valeur propre non nulle de et un vecteur propre associé . On note le polynôme minimal de et le degré de .
12. Démontrer que, pour tout .
13. Soit . Exprimer en fonction de et .
14. Démontrer que le polynôme est le polynôme nul ( étant le polynôme dérivé du polynôme minimal de la matrice ).
15. En déduire que .