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CCINP Mathématiques 2 MP 2013

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InformatiqueRéductionGéométriePolynômes et fractionsAlgèbre linéaire
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CCINP
Année
2013
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MP
Matière
Maths
CCINP MPCCINP 2013MP MathsMaths 2013
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème indépendants.

Exercice : points à coordonnées entières sur une hyperbole

On munit le plan d'un repère orthonormé. On considère la conique d'équation cartésienne :
  1. Tracer l'allure de l'hyperbole . On précisera les tangentes aux points d'ordonnée nulle ainsi que les branches infinies.
  2. Ecrire un algorithme en français qui renvoie les éventuels couples d'entiers naturels ( ) vérifiant :
  1. Programmer cet algorithme sur calculatrice et donner les couples d'entiers naturels ( ) solutions du système (I). On ne demande pas d'écrire le programme sur la copie.

Problème : matrices «toutes-puissantes»

Notations et objectifs

Dans tout le texte, désigne le corps ou et un entier naturel non nul.
On note le -espace vectoriel des matrices carrées de taille à coefficients dans et la matrice unité de .
On pourra confondre et .
Une matrice de est dite nilpotente s'il existe un entier naturel tel que .
Si sont des matrices carrées, la matrice désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont .
Si est un -espace vectoriel, on note l'application identité sur .
Enfin, on note la -algèbre des polynômes à coefficients dans .
On dit qu'une matrice de est «toute-puissante sur » et on notera en abrégé TPK si, pour tout , il existe une matrice de telle que .
On note l'ensemble des matrices de toutes-puissantes sur :
L'objectif principal du sujet est d'établir le résultat suivant :
toute matrice inversible de est TPC.
Dans la partie , on traite quelques exemples et contre-exemples.
Dans la partie II, on montre que, dans le cas où le polynôme caractéristique de la matrice est scindé, on peut ramener l'étude au cas des matrices de la forme avec nilpotente.
Dans la partie III, on traite le cas des matrices unipotentes c'est-à-dire de la forme avec nilpotente et on en déduit le théorème principal.
Les parties I et II sont dans une large mesure indépendantes. La partie III utilise les résultats des parties précédentes.

Partie I : quelques exemples

  1. Le cas de la taille 1
    (a) Démontrer que .
    (b) Soient et avec et . Donner les racines -ièmes du nombre complexe , c'est-à-dire les solutions de l'équation d'inconnue .
    (c) En déduire .
  2. Une condition nécessaire...
    (a) Démontrer que si , alors .
    (b) En déduire un exemple de matrice de qui n'est pas TPR.
  3. ...mais pas suffisante
Soit . Démontrer qu'il n'existe aucune matrice de telle que . En déduire que la condition nécessaire de la question précédente n'est pas suffisante.
4. Un cas où est diagonalisable
Soit .
(a) Démontrer que est diagonalisable sur (le détail des calculs n'est pas demandé).
(b) Démontrer que la matrice est TPR .
(c) Pour chacun des cas et , expliciter une matrice de vérifiant (on pourra utiliser la calculatrice).
5. Un exemple de nature géométrique
Soit .
(a) Justifier que est la matrice d'une rotation vectorielle dont on précisera une mesure de l'angle.
(b) En déduire que est TPR.
6. Le cas des matrices nilpotentes
Soit une matrice nilpotente de .
(a) Déterminer le polynôme caractéristique de , en déduire que .
(b) Démontrer que si est TPK, alors est la matrice nulle.

Partie II : le cas où le polynôme caractéristique est scindé

Dans toute cette partie, désigne une matrice de dont le polynôme caractéristique noté est scindé sur , c'est-à-dire de la forme :
avec des entiers de et les valeurs propres de , éléments de .
On note la base canonique de et l'endomorphisme de dont est la matrice dans la base .
Enfin, pour , on note que l'on appelle sous-espace caractéristique de associé à la valeur propre .
7. Démontrer que .
8. (a) Soit un endomorphisme de qui commute avec et un polynôme à coefficients dans . Démontrer que est stable par .
(b) En déduire que pour tout , le sous-espace caractéristique est stable par .
On note ainsi l'endomorphisme induit par sur .
9. Soit . Justifier que l'application est un endomorphisme de nilpotent.
10. En déduire que la matrice peut s'écrire sous la forme :
avec une matrice inversible de et pour tout et est une matrice nilpotente de .
On rappelle que désigne la matrice diagonale par blocs de premier bloc , de deuxième bloc et de dernier bloc .
11. Démontrer que, si pour tout la matrice est TPK, alors est elle-même TPK.

Partie III : le cas des matrices unipotentes

Soit une matrice nilpotente de . Nous allons montrer que la matrice unipotente est TPK.
On pourra confondre polynôme et fonction polynôme.
On rappelle que si est une fonction, la notation signifie qu'il existe une fonction tendant vers 0 en 0 telle que au voisinage de 0 .
12. Une application des développements limités
(a) Soit un polynôme de tel que au voisinage de 0 .
Démontrer, à l'aide d'une division euclidienne, qu'il existe un polynôme de tel que .
(b) Soit . Démontrer l'existence d'un polynôme de tel que l'on ait, au voisinage de 0 :
(on pourra utiliser un développement limité de ).
(c) En déduire que, pour tout , il existe un polynôme de tel que :
  1. Applications
    (a) Démontrer que la matrice unipotente est TPK.
    (b) Soit non nul. En déduire que si est TPK, alors la matrice est TPK
  2. Le résultat annoncé
    (a) Conclure que toute matrice inversible de est TPC.
    (b) Toute matrice de est-elle TPC?
  3. Donner un exemple de matrice de non diagonalisable et non inversible qui est TPR .

Fin de l'énoncé

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