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CCINP Mathématiques 2 MP 2017

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionAlgèbre linéaireInformatique
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CCINP
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2017
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Maths
CCINP MPCCINP 2017MP MathsMaths 2017
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Jeudi 4 mai:

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé d'un seul problème.

Notations

  • Dans tout le sujet, désigne les corps ou désigne un entier supérieur ou égal à 2 . On note le -espace vectoriel des matrices carrées de taille à coefficients dans .
  • On note la matrice unité de .
  • Si est un vecteur de , on note sa norme «infinie» définie par :
  • On dit que est un vecteur stochastique si ses coordonnées sont positives ou nulles et leur somme vaut 1 :
  • Une matrice de est dite stochastique si ses coefficients sont positifs ou nuls et si la somme des coefficients de chacune de ses lignes vaut 1 , c'est-à-dire si :
  • Une matrice est dite strictement positive si tous ses coefficients sont strictement positifs. On note alors .
  • Si sont des nombres complexes (respectivement des matrices carrées), on note la matrice diagonale (respectivement diagonale par blocs) dont les coefficients diagonaux (respectivement blocs diagonaux) sont .

Objectifs

Le sujet est constitué d'un seul problème qui traite de matrices stochastiques dans un contexte probabiliste de chaîne de Markov (partie I). On étudie le spectre d'une matrice stochastique (partie II) et la suite des itérés de (partie III). On introduit aussi la notion de probabilité invariante par (partie IV), suivie de son calcul effectif par ordinateur (partie V).
La partie I est indépendante des autres parties. La partie IV utilise les deux résultats démontrés dans les parties II et III. La partie V est une partie informatique liée à la partie IV, mais qui peut être traitée de manière indépendante.

Partie I - Un exemple de chaîne de Markov

Une particule possède deux états possibles numérotés 1 et 2 et peut passer de son état à l'état 1 ou 2 de façon aléatoire. On considère un espace probabilisé ( ) sur lequel on définit pour tout , la variable aléatoire égale à l'état de la particule au temps . L'état de la particule au temps dépend uniquement de son état au temps selon les règles suivantes :
  • si au temps la particule est dans l'état 1 , au temps elle passe à l'état 2 avec une probabilité .
  • si au temps la particule est dans l'état 2 , au temps , elle passe à l'état 1 avec une probabilité .
On suppose que .
Q1. Déterminer en justifiant la loi de .
On pose le vecteur ligne de caractérisant la loi de .
Q2. Justifier la relation matricielle suivante :
Q3. En déduire, à l'aide de la calculatrice, la loi de (on demande les résultats arrondis au centième).
Q4. Temps de premier accès à l'état 1 : on note la variable aléatoire égale au plus petit entier tel que . Déterminer , puis pour tout entier .
Q5. Justifier que est diagonalisable, puis donner, sans détailler les calculs, une matrice inversible à coefficients entiers telle que
Q6. Justifier que les applications et définies sur sont continues.
Q7. En déduire la convergence de la suite de matrices , puis de la suite de vecteurs lignes . Préciser les coefficients du vecteur ligne obtenu comme limite.
La suite de variables aléatoires est un cas particulier de variables aléatoires dont l'état à l'instant ne dépend que de son état à l'instant et pas des précédents. On dit alors que est une chaîne de Markov. Plus généralement si est une chaîne de Markov prenant ses valeurs dans , la loi des variables est entièrement déterminée par la donnée de la loi de et d'une matrice stochastique de .
Si on pose maintenant , l'étude du comportement de la loi de lorsque est grand, se ramène alors à l'étude de la convergence de la suite vérifiant la relation de récurrence . Cela conduit à l'étude de la suite de matrices . C'est l'objet des parties suivantes.

Partie II - Spectre d'une matrice stochastique

Soit une matrice stochastique de .
Q8. Justifier que 1 est valeur propre de (on pourra considérer le vecteur colonne de dont toutes les coordonnées valent 1).
Q9. Soit un vecteur colonne de . Démontrer que .
Q10. En déduire que si est une valeur propre de , on a .

Localisation des valeurs propres

Soit une valeur propre de .
Q11. Justifier l'existence d'un vecteur colonne de tel que et .
Q12. Soit tel que . Démontrer que :

Étude d'un exemple

Q13. Dans cette question uniquement, on prend:
Déduire de la question précédente que les valeurs propres de sont contenues dans la réunion de trois disques, que l'on représentera en précisant leurs centres et leurs rayons.
On constate en particulier sur l'exemple que 1 est la seule valeur propre de de module 1. On admettra, dans la suite du problème, que cette propriété reste vraie pour toute matrice stochastique strictement positive.

Cas des matrices stochastiques strictement positives

Q14. On suppose en plus pour cette question et la question suivante que la matrice est strictement positive. On pose et on note la matrice de obtenue en supprimant la dernière colonne et la dernière ligne de .
Soit une valeur propre de .
On admet qu'il existe un entier tel que :
La démonstration (non demandée) de cette inégalité est similiaire à celle de la question Q12. Déduire de cette inégalité que est inversible.
Q15. En déduire que dim .
On admet sans démonstration que 1 est racine simple du polynôme caractéristique de . On dit alors que 1 est une valeur propre simple de . Nous pouvons résumer les résultats de cette partie par la Proposition 1 ci-dessous.
Proposition 1. Soit une matrice stochastique de strictement positive. Alors 1 est valeur propre simple et les autres valeurs propres ont un module strictement inférieur à 1 .

Partie III - Itérées d'une matrice stochastique

On démontre dans cette partie la proposition suivante :
Proposition 2. Pour toute matrice , stochastique et strictement positive, la suite converge dans .

Un contre-exemple

Q16. On considère la symétrie orthogonale de par rapport à la droite d'équation . Donner, sans justification, la matrice de dans la base canonique de .
Q17. La Proposition 2 reste-t-elle vraie si la matrice stochastique n'est pas strictement positive?

Résultat préliminaire

Soit un nombre complexe avec et une matrice nilpotente de .
Q18. Démontrer que .
Q19. Soit . Justifier que pour au voisinage de est équivalent à . En déduire la limite lorsque tend vers de .
Q20. En déduire que la suite de matrices converge vers la matrice nulle.

Convergence d'une suite de matrices

Soit une matrice stochastique et strictement positive de . On sait, d'après la Proposition 1, que 1 est valeur propre simple de . Si sont les autres valeurs propres complexes de , un théorème du cours montre que est semblable sur à une matrice diagonale par blocs du type
avec des entiers et des matrices nilpotentes à coefficients complexes.
Q21. Déduire des questions Q18 à Q20 que la suite converge.

Partie IV - Probabilité invariante par une matrice stochastique

Définition. Soit une matrice stochastique. On dit que admet une probabilité invariante s'il existe un vecteur ligne stochastique tel que (on dit alors que est une probabilité invariante par ).
Le but de cette partie est de démontrer la propriété énoncée dans la Proposition 3 ci-dessous.
Proposition 3. Soient une matrice stochastique strictement positive et un vecteur ligne stochastique. On note la suite de vecteurs lignes de définie par la relation: A. Alors, la suite converge vers un vecteur stochastique vérifiant . De plus, le vecteur est l'unique probabilité invariante par (il ne dépend donc pas du choix de ).
Soient une matrice stochastique strictement positive et la suite définie ci-dessus.
Q22. Démontrer que l'ensemble des vecteurs stochastiques de est une partie fermée de .

Convergence de la suite

Q23. Démontrer que la suite converge vers un vecteur vérifiant .
Q24. Soit un vecteur ligne stochastique. Démontrer que est encore un vecteur stochastique.
Q25. En déduire que est une probabilité invariante par .

Unicité de la probabilité invariante

Q26. Lien avec le spectre de la transposée de : soit un vecteur ligne stochastique. Justifier que est une probabilité invariante pour , si et seulement si le vecteur colonne est un vecteur propre de associé à la valeur propre 1 .
Q27. Justifier, en utilisant la question Q15, que .
Q28. En déduire que admet une unique probabilité invariante.

Partie V - Informatique : calcul effectif de la probabilité invariante d'une matrice stochastique strictement positive

Si est une matrice stochastique strictement positive, on a établi dans la partie précédente la convergence de la suite associée à la matrice . Ceci fournit un algorithme de calcul de la probabilité invariante par . On en propose une implémentation en langage Python. On sera très attentif à la rédaction et notamment à l'indentation du code.
Un vecteur de sera représenté en Python par une liste de flottants. Par exemple, le vecteur de sera représenté par la liste . De même, une matrice sera représentée par une liste dont les éléments sont les lignes de la matrice. Par exemple, la matrice
sera représentée par la liste .
Q29. On exécute le script suivant qui représente la matrice .
Donner les valeurs renvoyées lorsque l'on exécute len (A), A [1] et A [2] [1] .
Q30. Écrire une fonction difference qui prend en arguments deux vecteurs et de même taille et renvoie le vecteur . Par exemple si et , difference renverra .
Q31. Écrire une fonction norme qui prend en arguments un vecteur et renvoie sa norme infinie (on pourra utiliser librement la fonction abs qui renvoie la valeur absolue d'un nombre, mais on s'interdit l'utilisation de la fonction max déjà implémentée dans Python).
Q32. Écrire une fonction itere qui prend en arguments un vecteur ligne et une matrice carrée de même taille que et qui renvoie le vecteur . Par exemple si et , on a et donc itere renverra [5, 7].
Q33. On a vu, dans la Partie IV, que si est une matrice strictement positive, la suite de vecteurs lignes de associée définie par la relation : convergeait vers un vecteur indépendant du choix de vecteur stochastique.
Écrire une fonction probaInvariante qui prend en arguments une matrice stochastique strictement positive de et un réel et qui renvoie le premier terme de la suite avec tel que . On ne demandera pas à l'algorithme de vérifier que la matrice passée en argument est bien stochastique et strictement positive.
Par exemple, si et ,
probaInvariante(A,eps) renverra [0.33333396911621094, 0.6666660308837891].

FIN

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